第六章 2.2 分层随机抽样-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2.2　分层随机抽样 　分层随机抽样 问题：(1)某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，如果按简单随机抽样的方法抽取，抽取的样本是否具有代表性？ (2)为保证样本的代表性，若按各年龄段人数占总人数的比例抽取，那么应分别抽取老年教师、中年教师、青年教师各多少？ 提示：(1)由于各人群的人数相差较大，如果采用简单随机抽样的方法，可能抽到的结果不具备代表性． (2)4,13,19. 结论：将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样. [小组探究] 1．分层随机抽样的适用范围是什么？ 解：分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 2．分层随机抽样的特点是什么？ 解：(1)分层抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况． (2)分层抽样是等可能抽样．在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.如果总体个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，ni为第i层抽取的个体数，则＝＝…＝…＝. [互动探究] 　分层随机抽样中的相关计算 　(1)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家，抽取小型超市________家． (2)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________． 【解析】　(1)根据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20(家)，应抽取小型超市1 400×＝70(家)． (2)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18. 【答案】　(1)20　70　(2)18 解决分层抽样中的容量问题，关键是求出抽样比，即样本容量与总体容量的比．样本中从各层抽取的样本数量与该层的个体数量之比等于抽样比，即抽样比＝＝，这是求解分层抽样中有关容量问题的依据． 1．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________． 解析：设应抽取的男生人数为x，则＝，解得x＝25. 答案：25 　分层随机抽样的方案设计 　某网站就观众对某节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表所示： 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2 435 4 567 3 926 1 072 该网站为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？ 【解】　采用分层抽样的方法，抽样比为＝. “很喜爱”的有2 435人，应抽取2 435×≈12(人)； “喜爱”的有4 567人，应抽取4 567×≈23(人)； “一般”的有3 926人，应抽取3 926×≈20(人)； “不喜爱”的有1 072人，应抽取1 072×≈5(人)． 因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱” “喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人． 设计分层抽样方案的思路 在分层抽样中，确定抽样比k是抽样的关键．一般地，抽样比k＝(N为总体容量，n为样本容量)，再按抽样比k在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．注意在每层抽样时，应采用简单随机抽样的方法． 2．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作． 解：因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥． ∵＝5，∴＝2，＝14，＝4. ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人． 因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人． 这样便得到了一个容量为20的样本． 　抽样方法的综合应用 　某地质量监督部门对本地某奶粉厂的所有种类的库存奶粉进行抽样检测，已查明该厂库存奶粉10 000袋，其中婴儿奶粉4 000袋、普通奶粉5 000袋、老年奶粉1 000袋． (1)