第二章 4.1 第二课时 函数奇偶性的性质及应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　函数奇偶性的性质及应用 　函数奇偶性的等价定义 探究：奇函数f(x)有f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0. 偶函数f(x)有f(－x)＝f(x)⇔f(x)－f(－x)＝0.由此可知，奇偶函数的定义域有何特点？ 结论：(1)由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)如果函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0或＝－1，(f(x)≠0)，则f(x)为奇函数． 如果满足f(x)－f(－x)＝0或＝1，(f(x)≠0)，则f(x)为偶函数． 　函数的奇偶性与单调性 探究：函数y＝x2在(0，＋∞)与(－∞，0)的单调性有什么关系？ 结论：一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． [小组探究] 1．(多选题)偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则有(　　) A. f(－π)>f>f(－1) B. f>f(－1)>f(－π) C. f(－2020)＞f(2019)＞f(－2018) D. f(－1)>f(－π)>f 答案：AC 2．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1.那么，当x<0时，f(x)＝________． 答案：－x－1 3．奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，其y轴右侧图象如图，不画函数的左侧图象，写出f(x)<0的x的取值集合． 答案：(2，5)∪(－2，0) [互动探究] 　利用奇偶性求函数解析式 　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 【解】　设x<0，则－x>0，用－x替换f(x)＝x3＋x＋1中的x，得f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. 又∵f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x3－x＋1)＝x3＋x－1. ∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0. 综上所述，f(x)＝ 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0. 1．已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，求当x<0时，f(x)的解析式． 解：设x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝－x(1－x)． 又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x)＝－x(1－x)． 即f(x)＝x(x－1). 　函数奇偶性与单调性的综合应用 角度1　解不等式问题 　设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)，求m的取值范围． 【解】　∵f(x)是[－2，2]上的偶函数， 则由f(1－m)<f(m)可得f(|1－m|)<f(|m|)， 又当x≥0时，f(x)是减函数， ∴解得－1≤m<. 故m的取值范围是. 解决此类问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 2．设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上是减函数． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围是. 角度2　比较大小问题 　函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A. f(1)<f<f B. f<f(1)<f C. f<f<f(1) D. f<f(1)<f 【解析】　f(x＋2)是偶函数，∴y＝f(x)关于x＝2对称． ∴f＝f＝f，f＝f＝f，由f(x)在[0，2]单调递增得f>f(1)>f()，即f()>f(1)>f()．故选B. 【答案】　B 利用函数奇偶性比较大小 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 若函数关于x＝a对称，则有f(x)＝f(2a－x)． 3．已知f(x)＝f(4－x)，x∈R.当