第一章 4.2 一元二次不等式及其解法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．2　一元二次不等式及其解法 　一元二次不等式 背景：汽车的刹车距s(m)与车速x(km/h)之间有确定的函数关系是分析交通事故的一个重要依据． 问题：甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞．交警在现场测得甲车的刹车距接近但未超过12 m，乙车的刹车距刚刚超过10 m．已知这两辆汽车的刹车距函数如下： s甲＝0.01x2＋0.1x， s乙＝0.005x2＋0.05x， 车速超过40 km/h属违章．试问：哪一辆车违章超速行驶？ 提示：需要求解使0.01x2＋0.1x≤12和0.005x2＋0.05x＞10成立的x的取值范围． 结论：定义：(1)一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．通常，它们都可以化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0或≥0或≤0)的形式，其中a，b，c均为常数，且a≠0.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解思路，如图． [小组探究] 1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　　) A. 　　 B. C. ∅ D. R 解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R. 答案：D 2．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为(　　) A. a＝6，c＝1 B. a＝－6，c＝－1 C. a＝1，c＝1 D. a＝－1，c＝－6 解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1. 答案：B 3．若0<t<1，则不等式(x－t)·(x－)<0的解集为____________． 解析：∵0<t<1，∴>1. ∴(x－t)(x－)<0的解集为. 答案： 4．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为____________． 解析：因为关于x的不等式2x2＋ax－a2>0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2>0，即(a－4)(a＋2)<0，解得－2<a<4. 答案：{a|－2<a<4} [互动探究] 　一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－x2＋3x－5>0. 【解】　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 一元二次不等式的解法 (1)当所给的一元二次不等式是非标准形式的不等式时，应当化为标准形式． (2)一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象(简图)； ③由图象得出不等式的解集．口诀为“大于取两边，小于取中间”． 1．解不等式－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 　已知不等式的解集求参数 　已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【解】　法一：由题意可得a<0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根， ∴由根与系数的关系得 ∵a<0，0<α<β，∴由②得c<0， 则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋>0. ①÷②，得＝＝－<0. 由②得＝＝·>0. ∴，为方程x2＋x＋＝0的两根． 又∵0<α<β，∴0<<， ∴不等式x2＋x＋>0的解集为{x|x<或x>}． 即所求不等式的解集为. 法二：由题意得a<0， ∴由cx2＋bx＋a<0，得x2＋x＋1>0. 将法一中的①②代入， 得αβx2－(α＋β)x＋1>0， 即(αx－1)(βx－1)>0. ∵0<α<β，∴0<<.