第一章 4.1 一元二次函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 　一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 问题：函数①y＝x2，②y＝x2＋1，③y＝2x2，④y＝(x－2)2，⑤y＝2(x－2)2＋1.考虑下面的过程如何变换： ①→②；①→③；①→④→⑤. 结论：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为 y＝a＋＝a(x－h)2＋k， 其中，h＝－，k＝． 变换方法　一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． 　一元二次函数的性质 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质： (1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h． (2)当a＞0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k． 当a＜0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k． [小组探究] 1．函数y＝x2－5x＋1可配方为________，对称轴为________． 答案：y＝(x－5)2－　x＝5 2．(教材例1改编)y＝－x2＋2由y＝－x2经________变换得到(　　) A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 答案：C 3．(教材练习改编)函数y＝－3x2＋12x－8有(　　) A. 有最小值－8　　　　 B. 有最小值4 C. 有最大值－8 D. 有最大值4 答案：D [互动探究] 　一元二次函数解析式的配方与图象变换 　(教材例1改编)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋2. (1)求函数图象的顶点和对称轴； (2)指出它的图象可以由y＝x2的图象经过怎样的图象变换得到的． 【解】　(1)配方得y＝－(x2－8x)＋2 ＝－[(x2－8x＋16)－16]＋2 ＝－(x－4)2＋10 ∴函数图象的顶点为(4，10)，对称轴为x＝4. (2)由y＝x2作关于x轴对称的图象得到y＝－x2.再向右平移4个单位，得到y＝－(x－4)2，再向上平移10个单位，得到y＝－(x－4)2＋10的图象． 1．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的配方步骤 第一步：提系数，即取x2的系数a(针对二次项、一次项)． 第二步：配平方，根据提取系数a后的二次项、一次项，同时加减“一次项系数一半的平方”． 第三步：配常数，配成y＝a(x＋h)2＋k的形式． 2．(1)y＝ax2的图象，当h＞0时，向左平移h个单位．当h＜0时，向右平移|h|个单位，简称“左＋右－”，可得到y＝a(x＋h)2的图象． (2)当k＞0时，向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移|k|个单位，简称“上＋下－”，可得到y＝a(x＋h)2＋k的图象． 1．函数y＝x2－2x－3的图象由y＝x2经过怎样的变换得到． 解：y＝(x－1)2－4，由y＝x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位即可. 　一元二次函数的性质 　已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 【解析】　由已知条件有 即 化简得 解得所以－<m<0. 【答案】　(－，0) 研究y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质 首先确定开口方向(a的正负)，其次对称轴x＝－.再根据图象确定函数的变化趋势及最值． 解答本题的关键是根据二次函数的图象的性质列出不等式，进而求解． 2．指出函数y＝(x＋2)(3x－1)的对称轴及顶点坐标，函数随x的变化趋势及最值． 解：y＝3x2＋5x－2＝3－2＝3－， 对称轴x＝－，顶点为. 开口向上，当x∈时，y随x的增大而减小， 当x∈时，y随x的增大而增大，当x＝－时，ymin＝－，没有最大值． 　一元二次函数图象性质的应用 　(多选题)已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的有(　　) A. a＜0 B. 当x＞1时，y随x的增大而增大 C. c＞0 D. x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根 【解析】　由二次函数的图象可知，图象开口向下，a＜0；当x＞1时，y随x的增大而减小；x＝0时，y＝c＞0；二次函数图象的对称轴为直线x＝1，二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标为－1，则根据对称性，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为3.故选ACD. 【答案】　AC