第一章 2.2 全称量词与存在量词-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　全称量词与存在量词 　全称量词命题 问题：观察下列命题： (1)所有正方形都是矩形； (2)每一个有理数都能写成分数的形式； (3)空集是任何集合的子集； 体会其中加“着重点”的词语． 结论：定义：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． 　存在量词命题 问题：观察下列命题： (1)有些三角形是直角三角形； (2)在素数中，有一个是偶数； (3)存在实数x，使得x2＋x－1＝0. 体会其中加“着重点”的词语． 结论：定义：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． 　全称量词命题与存在量词命题的否定 现象：当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题． 结论：(1)一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立． 全称量词命题的否定是存在量词命题． 对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x)． (2)一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立．存在量词命题的否定是全称量词命题． 对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为 ∀x∈M，x不具有性质p(x)． [小组探究] 1．下列命题中是全称量词命题的有______，存在量词命题有________． (1)对于任意一个实数x，都有x2＞x； (2)三个连续整数中，至少有一个数是3的倍数； (3)所有的矩形都是平行四边形； (4)所有的平行四边形都是菱形； (5)∀x∈Q，3x2＋2x＋1∈Q； (6)∃锐角α，使sin α＝cos α； (7)正方形的对角线相等． 答案：(1)(3)(4)(5)(7)　(2)(6) 2．指出下列命题中所用的量词，并改为“∀x∈M…”和“∃x∈M…”的形式． (1)对于任意的正实数k，y＝kx＋b的值随x值的增大而增大； (2)sin2 α＋cos2 α＝1； (3)在平面上，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直． 解：(1)全称量词“任意”，∀k∈(0，＋∞)，y＝kx＋b的值随x增大而增大． (2)省略了全称量词，∀α∈R，sin2 α＋cos2 α＝1. (3)存在量词“存在”，在平面α上，∃l⊂α，A∈α，A∉l，使A∈m，m⊥α. [互动探究] 　全称量词命题、存在量词命题的真假判定 　判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x都有平方根； (2)存在一个无理数x，使x2也是无理数； (3)∃x∈R，使x2＋x＋1＝0； (4)任何一个集合的子集至少有两个； (5)正方形都是菱形． 【解】　(1)假　若x＜0，则x无平方根； (2)真　如x＝ ，x2＝＝为无理数； (3)假　x2＋x＋1＝0无实根； (4)假　如∅的子集只有一个∅； (5)真　所有正方形符合菱形的性质． 全称量词命题与存在量词命题真假判断方法 (1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称量词命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一存在量词命题就是假命题． 1．判定下列全称量词命题与存在量词命题的真假，在(　　)打“√”“×”． (1)一切三角形的内角和都等于180°；(　　) (2)在实数集内，有些一元二次方程无解；(　　) (3)∃x∈R，使x2－2＝0；(　　) (4)∀x∈R，有x2＋2x＋2≤0.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 　全称量词命题与存在量词命题的否定 　(1)命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A. ∀x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2 B. ∀x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2 C. ∃x∈R，∃n∈N＋，使得n＜x2 D. ∃x∈R，∀n∈N＋，使得n＜x2 (2)“某箱产品中至少有一件次品”的否定为(　　) A. 某箱产品中都是正品 B. 某箱产品中不都是正品 C. 某箱产品中都不是正品 D. 某箱产品中至多2件次品 (3)命题“∃集合A，使A∪B＝A”的否定为________． 【解析】　(1)其否定为∃x∈R，∀n∈N*，有n＜x2；选D. (2)其否定为没有次品，即都是正品，选A.