第一章 1.3 第一课时 交集与并集-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．3　集合的基本运算 第一课时　交集与并集 　交集 背景：某造纸厂生产练习本用纸，在纸的密度和厚度都合格时，该产品才合格．若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合，B表示纸的密度合格的产品组成的集合，C表示纸的厚度合格的产品组成的集合，那么集合A满足B的特征，又满足C的特征，用Venn图表示如下： 结论：(1)定义：一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 可用Venn图表示． (2)性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅．A⊆B⇔A∩B＝A. 　并集 背景：假如你班周一的课程为集合A，设A＝{语文，数学，英语，政治，历史，地理}，周二的课程为集合B，设B＝{数学，英语，物理，语文，化学，体育}． 探究：如果周一、周二两天的课程为集合C，那么集合C＝{语文，数学，英语，政治，历史，地理，物理，化学，体育}共9个元素，而不是12个元素． 结论：(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． 可用Venn图表示． (2)性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A. AB⇔A∪B＝B. [小组探究] 1．设集合A＝{x|x＝6n，n∈Z}，B＝{x|x＝8n，n∈Z}，则A∩B＝________． 答案：{x|x＝24n，n∈Z} 2．设集合A＝{x|x－2＝0}，B＝{x|(x－2)(x＋2)＝0}，则A∪B＝________，A∩B＝________． 答案：{2，－2}　{2} 3．(教材例6改编)设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x≥2}．则A∪B＝________　A∩B＝________． 答案：{x|x≥－1}　{2} [互动探究] 　求交集、并集 　(1)集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B，A∩B； (2)集合A＝{x|2k＜x＜2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∩B； (3)集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－6}，C＝{x|1≤x≤7}，求(A∪B)∩C. 【解】　(1)可以借助数轴求解，如图， A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3} ＝{x|－1＜x＜3}． A∩B＝{x|1＜x＜2}． (2)集合A由数轴上的无限多段组成．但我们只需取与B有公共元素的即可，如下图． A∩B＝{x|2＜x＜3}． (3)由题意得A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＜3}． ∴A∪B＝{x|x＜3或x＞5}， ∴(A∪B)∩C＝{x|1≤x＜3或5＜x≤7}． 如图： 【探究】　若本例(3)中条件不变，求(A∩C)∪B. 解：A∩C＝{x|5＜x≤7}． ∴(A∩C)∪B＝{x|x＜3或5＜x≤7}． 求两个集合的并集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助Venn图和数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围． 求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的实数集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的实数集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 求交、并集的混合运算方法 一般从左到右依次进行运算，有括号的先算括号里面的． 1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A. {1}　　　　　　　 B. {4} C. {1，3} D. {1，4} 解析：由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}． 答案：D 2．集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x≤1或x＞3}，求A∪B，A∩B. 答案：A∪B＝{x|x＜2或x＞3}，A∩B＝{x|－1＜x≤1}． 3．集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∪B，A∩B. 答案：A∪B＝{(x，y)|y＝x＋2或y＝x＋3}，A∩B＝∅. 　有关交集、并集的逆运算 　设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B. 【解】　由9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5. ①若x＝3，则A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违背了互异性，舍去． ②若x＝－3，则A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，