第一章 1.3 第二课时 全集与补集-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　全集与补集 　全集与补集 问题：实数集R包含有理数集Q和无理数集，那么无理数集怎么表示？ 结论：(1)定义：①在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集， 这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． ②设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA，即 ∁UA＝{x|x∈U，且xA}．可用Venn图表示． 那么无理数集表示为∁RQ． (2) 补集的性质． ①∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅． ②若A⊆B，则∁UA⊇∁UB；反之，若∁UA⊇∁UB，则A⊆B. ③若A＝B，则∁UA＝∁UB；反之，若∁UA＝∁UB，则A＝B. [小组探究] 1．设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁AB等于(　　) A. {2，4}　　　　　　　 B. {0，1，3，5} C. {1，3，5，6} D. {x∈N＋|x≤6} 答案：C 2．已知U＝{x|x＞0}，A＝{x|2≤x＜6}，则∁UA＝________． 答案：{x|0＜x＜2或x≥6} 3．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B等于(　　) A. {2，4} B. {0，2，4} C. {0，1，3} D. {2，3，4} 解析：B＝∁A(∁AB)＝{0，2，4}． 答案：B [互动探究] 　集合的交、并、补集的综合运算 　(教材例8改编)(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求：(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B； (2)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R B，∁R (A∪B)及(∁RA)∩B. 【解】　(1)法一：因为∁UA＝{1，2，6，7，8}， ∁UB＝{1，2，3，5，6}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}， (∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． 法二：画出Venn图，如图所示，可得 (∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}， A∩(∁UB)＝{3，5}， (∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． (2)如图，在数轴上表示出集合A，B，则 ∁RB＝{x|x≤2或x≥10}． A∪B＝B. ∴∁R(A∪B)＝∁RB＝{x|x≤2或x≥10}， 而∁RA＝{x|x＜3或x≥7}， ∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}． 求集合补集的策略 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限实数集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． (3)集合的综合运算，要注意先后顺序，有括号先算括号或用运算律进行等价运算． 1．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)． 解：如图，在数轴上表示出集合A，B，U. ∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}． ∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}. 　与补集有关的逆运算 　已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值． 【解】　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5A， ∴a2＋2a－3＝5，∴a＝2或a＝－4， 当a＝2时，|2a－1|＝3≠5. 当a＝－4时，|2a－1|＝9.但9U(舍)． ∴a＝2. 【探究】　本例中，如果将A换为A＝{m，n}，能否求出实数a、m、n? 解：由题意得a2＋2a－3＝5，∴a＝2或a＝－4. ∴当a＝2，m＝2，n＝3；或m＝3，n＝2. 当a＝－4，m＝2，n＝3；或m＝3，n＝2. 若已知∁UA＝{m}，则有两层含义： (1)由m∈U，可求U中的元素； (2)由mA，可检验所求结果(元素互异性)． 2．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(　　) A. {1，3} B. {3，7，9} C. {3，5，9} D. {3，9} 解析：根据题意易得3∈A，9∈A. 若5∈A，则5B(否则5∈A∩B)