5.2.2 导数的四则运算法则-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 5.2.2导数的四则运算法则 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 通过本节课的学习，要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题. 课前预习 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即. 知识讲解 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. 【大招总结】 大招1 初等函数求导 【方法总结】 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误. （3）要特别注意“与lnx”，“ax’与logax”，“sinx与cosx”的导数区别. 大招2 求切线方程 【方法总结】 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解。 大招3 在一点的切线方程 【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤 大招4 过一点的切线方程 【方法总结】过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(x0，y0)； ②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； ③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 典型例题 【例1】求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】（1）；（2）；（3）.（4）；（5）. 【详解】 （1）因为， 所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）∵，∴. （5）∵，∴. 【例2】设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝xsinx＋cosx． 【详解】 因为f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′ ＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′ ＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx ＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx． 又因为f′(x)＝xcosx，所以 解方程组，得 因此f(x)的解析式为f(x)＝xsinx＋cosx． 【点睛】 关键点点睛：该题考查的是有关导数的计算，在求解过程中，熟记求导公式和导数的运算法则是正确解题的关键. 【例3】设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为，求a，b的值． 【答案】 【详解】 f′（x）=aex﹣， ∴f′（2）=， ∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=x， ∴=，f（2）=+b=3，又a＞0， 解得． 【点睛】 本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【例4】曲线C：在点处的切线为：，在点处的切线为：，求曲线C的方程． 【答案】． 【详解】 由已知得点与点均在曲线C上， ， 由导数的几何意义得，，， 解得：． 所以曲线C的方程为：． 【点睛】 方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法： (1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：． (2)已知斜率k，求切点，即解方程. (3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可． 【例5】函数的导函数在区间上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ∵，∴， ∴，∴为奇函数， 故选：C. 【例6】已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 由题得切线的斜率为2， 所以 因为, 所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件. 故答案为B