5.2.1 基本初等函数的导数-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 5.2.1基本初等函数的导数 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题. 课前预习 1.几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝ f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝ax f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识讲解 导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 导函数 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1 y＝cos x y′＝－sin_x y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axlna 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ 【大招总结】 大招1 初等函数求导 【方法总结】 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. （2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误. （3）要特别注意“与Inx”，“ax’与logax”，“sinx与cosx”的导数区别. 大招2 求切线方程 【方法总结】 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解。 大招3 在一点的切线方程 【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤 大招4 过一点的切线方程 【方法总结】过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(x0，y0)； ②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； ③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 典型例题 【例1】函数在处的导数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，所求导数为. 故选：C. 【例2】给出下列结论：①；②；③若，则；④其中正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】 由于，，，， 即运算正确的为：②④, 故选：C. 【例3】已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，解得． 故选：C． 【例4】已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 依题意，令得，，故选D. 【例5】求曲线在点处的切线方程. 【答案】 【详解】 设，则，所以， 所以切线方程为，即. 【例6】已知在上连续可导，为其导函数，且，则在处的切线方程为________________ 【答案】 【详解】 由题意， ，所以， 因此，所以，易知切线为 故答案为： 【例7】已知是曲线上的两点．求过点的曲线的切线方程； 【答案】（1）； 【详解】 （1）； 过点，的切线斜率分别为，4； 过点的切线方程为：； 即； 过点的切线方程为：； 即； 【例8】已知函数．过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】或 【详解】 （2）， 设切点坐标为， 则切线方程为， ∵切线过点， ∴， 化简得， ∴或． ∴切线的方程：或． 强化训练 一、单选题 1．下列求导运算正确的是（    ）． A． B．（为常数） C． D． 2．函数在处的导数等于 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则等于 A．0 B． C． D． 4．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范