5.1.2 导数的概念及其几何意义-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 5.1.2导数的概念及其几何意义 [核心素养·学习目标] 学习目标 核心素养 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 通过本节课的学习，要求会求简单函数的导函数，理解导数几何意义，会求某点处的切线方程. 课前预习 1.函数在某点处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 ，即f′(x0)＝ ＝ . 2. 导数的几何意义 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x) 的切线． (2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点 处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . (3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 ． 3.导函数 　对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数), 即f′(x)＝y′＝ . 知识讲解 知识点一.割线的定义： 函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 知识点二.切线的定义： 切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线． 知识点三.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点四.割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 知识点五.导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝. 注意： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 【大招总结】 大招1 在点“P”处的切线 【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤 大招2 过点“P”处的切线 【方法总结】过点“P”处的切线： (1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 ①设切点为Q(x0，y0)； ②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； ③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)； ④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 大招3 求切点坐标 【方法总结】求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标． (2)利用导数或斜率公式求出斜率． (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． 大招4 利用图象理解导数的几何意义 【方法总结】 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． (1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 曲线f(