第二章 平面向量及其应用 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 拓展一　向量线性运算的拓展 平面向量的线性运算包括加法、减法及数乘．而向量的运算，是“带方向的量的运算”，这里，如何对方向进行运算是核心问题． (1)向量加法的三角形法则：是“位移的合成”的几何体现，解释了两个方向之和，体现了“三角形回路：＋＝”． (2)向量加法的平行四边形法则：是“力的合成”的平行四边形法则． (3)数乘运算：λa是类比数a的整数倍的意义． ①k(a＋b)＝ka＋kb是“相似三角形对应边的比等于相似比”的代数化形式． ②λa与a共线是数轴概念的拓展． 如果设e是与数轴Ox的方向相同的单位向量，数轴上任意一点P的坐标为x，那么＝xe；反之也正确． (4)平面向量基本定理是平面向量线性运算的综合运用，其基本手段是作图，利用平面几何性质，体现直观想象、数学运算的学科素养． 　已知＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1. 求证：A、B、C三点共线． 证明：如图，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ， 则＝λ＋μ＝(1－μ)＋μ. ∴－＝μ(－)， ∴＝μ， ∴A、B、C三点共线． 1．此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O具有灵活性；体现平面向量基本定理的应用及三角形法则：－＝，－＝. 2．反之也成立(证明略)：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质． 3．特别地，λ＝μ＝时，＝(＋)，点B为的中点，揭示了△OAC中线OB的一个向量公式，应用广泛．　　 拓展二　平面向量基本定理的应用技巧 平面向量基本定理是将所求向量表示为已知向量的依据，是用向量研究问题的基础知识． 技巧一　构造某一向量在同一基下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则用，来求解． 　在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量. 解：∵B，P，M共线， ∴存在常数s，使＝s， 则＝ ＋ ， 即＝ ＋ ＝a＋b.① 同理，存在常数t，使＝t， 则＝ a＋b.② ∵a，b不共线， ∴解得 ∴＝a＋b. 技巧二　构造两个共线向量在同一基下的表达形式，用“若e1，e2为基，a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解． 　如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b. (1)用a、b表示； (2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q.求证：＋＝1. 解：(1)设＝ma＋nb，则 ＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b. ∵点A、M、D共线，∴与共线， ∴(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.① 则＝－＝a＋nb， ＝－a＋b. ∵C、M、B共线，∴与共线， ∴－n－＝0，∴4m＋n＝1.② 联立①②可得m＝，n＝， ∴＝a＋b. (2)证明：＝a＋b，＝－pa＋qb， ∵与共线， ∴q－×(－p)＝0. ∴q－pq＝－p，即＋＝1. 技巧三　将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式(e1，e2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解． 　如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2 ＋3 ＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示. 解：∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3 ＝0. ∴＋3 ＋2 ＋3 ＝0， 又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ∴＝λ，＝μ， ∴λ ＋3 ＋2 ＋3μ ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 而，为不共线向量， ∴∴λ＝－2，μ＝－1. ∴＝－＝. 故＝＋＝2 ＝2p. 拓展三　解决几何问题的向量方法 用向量的线性运算、数量积，结合向量的坐标运算，就开辟了解决几何问题的新方法：代数运算法、数形结合思想和函数方程思想． 角度1　几何问题代数化 　已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，＝(0，a)，＝(c，a)， ＝(c，0)，＝(2c，0)． 因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线， 所以＝(＋)＝， 同理＝. 因为⊥，所以·＝0， 即－＋＝0，化简得a2＝9c2， 又因为cos A＝＝＝＝. 即顶角A的余弦值为. 此题是将几何问题利用建系方法转化为代数运算来求解．　　 角度2　函数思想 　已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的取值范围为 ． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系． 则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)， 设＝λ(0≤λ≤1