第二章 平面向量及其应用 章末检测(二)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末检测(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．或 D．或 解析：D　因为a2＋c2－b2＝2accos B，所以2acsin B＝ac⇒sin B＝，所以B＝或. 2．已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影向量的坐标为(　　) A．(，) B．(－，) C．(－，－) D．(，－) 解析：B　＝(2，2)，＝(－1，3)，||＝，·＝－2＋6＝4，则向量在向量上的投影向量为·＝(－，)，故选B． 3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：B　A＝180°－(60°＋45°)＝75°. 故最短边为b，由正弦定理可得＝，即b＝＝＝.故选B． 4．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(　　) A．· B．· C．· D．· 解析：A　设边长||＝a，易知∠P2P1P3＝.||＝a，则·＝a·a·＝.易知∠P2P1P4＝，||＝2a，则·＝a·2a·＝a2.易知·＝0，·<0.所以数量积中最大的是·.故选A． 5．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q＝.如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝(　　) A． B． C．7 D．18 解析：A　∵D为BC的中点，∴＝(＋)＝(5p＋2q＋p－3q)＝3p－q. ∵|p|＝2，|q|＝3，p，q＝， ∴||2＝9p2＋q2－3p·q＝， ∴||＝.故选A． 6．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°.向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为(　　) A．5 000米 B．5 000米 C．4 000米 D．4 000米 解析：B　如图，在△ABC中．AB＝10 000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理，得BC＝＝＝5 000(米)． 7．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，点P是BC的中点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β等于(　　) A． B． C． D． 解析：D　建立如图所示的坐标系，B(3，0)，D(0，1)，C(1，1)． ∵P为BC中点，∴P(2，)． ∵＝α＋β， ∴(2，)＝α(0，1)＋β(3，0)＝(3β，α)． ∴β＝，α＝，∴α＋β＝. 8．对于非零向量α，β，定义一种向量积：α·β＝.已知非零向量a，b的夹角θ∈(，)，且a·b，b·a都在集合{|n∈N}中，则a·b＝(　　) A．或 B．或 C．1 D． 解析：D　a·b＝＝＝＝，n∈N　①.同理可得b·a＝＝＝＝，m∈N 　②.再由a与b的夹角θ∈(，)，可得cos2θ∈(0，)，①②两式相乘得cos2θ＝，m，n∈N，∴m＝n＝1，∴a·b＝＝，选D． 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的值可以为(　　) A． B．－ C． D．1 解析：CD　a与b的夹角为钝角必须满足a·b＝2x－21<0，且a与b不共线，代入验证可知C，D正确．故选CD． 10．点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：AD　∵P是△ABC所在平面内一点，且 |－|－|＋－2|＝0， ∴||－|(－)＋(－)|＝0， 即||＝|＋|， ∴|－|＝|＋|， 两边平方并化简得·＝0，∴⊥， ∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形．故选AD． 11．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小可能是(　　) A． B． C．π D．π 解析：AC　∵b2＋c2－bc＝a2，∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝， 又∵A∈(0，π)，∴A＝. 由b2＋c2－a2＝bc及bc＝a2得 b2＋c2－bc＝bc，即b2－4bc＋c2＝0. ∴(b－c)·(b－c)＝0， 解得c＝b或b＝c. 当c＝b时，由bc＝a2得a＝b， ∴△ABC为等腰三角形