第二章 2.2 向量的减法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　向量的减法 [素养目标]　1.能通过向量加法运算抽象出向量减法运算．　2.了解向量加法与减法的关系．　3.掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．　4.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的学科素养． 探究点一　向量的减法 [基础梳理] 1．向量减法的概念 向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)． 2．向量减法的作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b，即＝a－b，如图所示． [互动探究] 　(1)在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　) A．a＋b　　　　　 B．－a＋(－b) C．a－b D．b－a 解析：B　＝－＝－－＝－a－b＝－a＋(－b)． (2)如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作向量b＋c－a. 解：以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a. 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．　　 [跟踪训练] 1．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于(　　) A．　 B．　 C．　 D． 解析：D　如图所示，＝， －＝－＝＝. 2．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 探究点二　向量的加减运算 [互动探究] 　(1)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是________(填序号)． ①＝；②＋＝； ③－＝；④－＝. 解析：由向量的有关知识可知＝，＋＝，－＝＋＝，所以①②④正确．而－＝，所以③错误． 答案：①②④ (2)化简：(－)－(－)． 解：(－)－(－)＝(＋)－(＋)＝－＝. 1．向量减法运算的常用方法 2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． [跟踪训练] 3．下列各式： ①＋＋；②－＋－； ③－＋；④＋＋－. 其中结果为零向量的个数是(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　由向量的有关知识可得：①＋＋＝＋＝0； ②－＋－＝(－)＋(＋)＝＋＝0； ③－＋＝＋＝0； ④＋＋－＝＋＝0. 故①②③④的计算结果都是零向量． 4．化简下列各式： (1)－－；(2)＋－；(3)－－. 解：(1)－－＝＋＝. (2)＋－＝－＝. (3)－－＝＋＋＝＋＋＝. 探究点三　向量减法几何意义的应用 [基础梳理] 1．向量减法的几何意义 a－b表示连接两个向量的终点，从向量b的终点指向被减向量a的终点的向量． 2．向量加减法模运算的几何意义 (1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取“＝”． (2)||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当a与b反向时取“＝”． (3)|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b反向时取“＝”． (4)||a|－|b||≤|a－b|，当且仅当a与b同向时取“＝”． [互动探究] 角度1　利用已知向量表示未知向量 　如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c，由向量的减法可知：＝－＝b－a，由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. 角度2　求解几何问题 　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围． 解：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6， ∴3≤|－|≤15. 当与同向时，|－|＝3； 当与反向时，|－|＝15. ∴|－|的取值范围为[3，15]． 1．由题意作出相对应的几何图形，构造有关向量． 2．利用三角形法则和平行四边形法则，对向量的加、减法进行运算． 3．构造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的边、角关系解题． [跟踪训练] 5．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝______． 解析：－＋＝＋＋＝， ∴|－＋|＝||＝2. 答案：2 6.如图所示，用a，b，c表示下列问题． (1)e－g；(2)f－d；(3)d－g. 解：(1)e－g＝＝－＝－(b＋c)＝－b－c. (2)f－d＝＝a＋b. (3)d－g＝＝－＝－(a＋b＋c)＝－a－b－c. 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a　　 B．a＋b　 C．b－a　 D．a－b 解析：D　＝－＝a－b. 2．已知在四边形ABCD中，－＝