第二章 2.1 向量的加法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　从位移的合成到向量的加减法 2．1　向量的加法 [素养目标]　1.通过实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义．　2.结合实例，培养学生直观想象、数学运算能力，发展数学抽象的学科素养． 探究点一　向量的加法法则 [基础梳理] 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2．向量求和的法则 [互动探究] 　(1)如图所示，已知向量a，b，求作向量a＋b. 解：①作＝a，＝b，则＝a＋b，如图a. ②作＝a，＝b，＝a＋b，如图b. ③作＝a，＝b，则＝a＋b，如图c. (2)如图，O为正六边形ABCDEF的中心，指出与下列向量相等的向量： ①＋；②＋；③＋. 解：①因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝. ②因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝. ③因为＝，故＋＝＋＝0. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量所对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单． [跟踪训练] 1．如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c. 解：法一：如图(1)，在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，则＝a＋b＋c. 法二：如图(2)，在平面内作＝a，＝b， 以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c. 探究点二　向量加法运算律的应用 [基础梳理] 向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． [互动探究] 　设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简： (1)＋＋；(2)＋＋＋. 解：(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. (2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝0＋0＝0. 向量加法的运算技巧 (1)由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．　　 [跟踪训练] 2．化简：(1)＋；(2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解：(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋＝＋＝0. 探究点三　向量加法的实际应用 [互动探究] 　在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． 解：如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从 B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝. 依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600 (km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以||＝ ＝ ＝800(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°. 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 　 [跟踪训练] 3．一轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置． 解：如图所示，设、分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且＝＋. 在Rt△ABD中，||＝20 km， ||＝20 km， 在Rt△ACD中， ||＝||＋||＝20＋40＝60(km)． ||＝＝40 (km)． 又sin∠CAD＝＝＝，所以∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港40 km处. 1．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A．1　　 B．　　 C．3　　 D．2 解析：B　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝. 2．化简＋＋等于(　　) A． B． C．0 D． 解析：D　＋＋＝＋＝. 3．根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝. (1)a＋b＋c＝________； (2)b＋d＋c＝________． 解析：(1)a＋b＋c＝＋＋＝. (2)b＋d＋c＝＋＋＝. 答案：(1)　(2) 4．若a表示“向东走8 km”，b表示“