13.3 等腰三角形-2023-2024学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教版）

13.3 等腰三角形 考点一、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 考点二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 考点三：等边三角形 等边三角形定义：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 5、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 题型一：等腰三角形的等边等角性质求解 1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校）如图，在中，，点D、B分别在边、上，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，垂直平分，分别交、于、，连接，平分，交于，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，在中，，，点是边的中点，点，，分别在边，上，且．则下列结论中：①图中有两对全等的三角形；②；③若四边形的面积为，则的面积为；④，正确的结论有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：等腰三角形的三线合一问题 4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，中，，于点，于点，于点，，则（　　）    A．8 B．9 C．12 D．18 5．（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2023春·广东中山·八年级统考阶段练习）如图，点在的边上，点在射线上不与点，重合，连接，．下列命题中，假命题是(　　) A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型三：等腰三角形的判定 7．（2023秋·八年级课时练习）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　）    A． B．2 C．4 D．1 8．（2023秋·江苏无锡·八年级文林中学校考阶段练习）如图，在中，与点E，与点F，且．    (1)如图①，当O为中点时，试说明； (2)如图②，当点O在内部，且，试判断与的关系． 9．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知在中，的平分线交于点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长． 题型四：等边三角形的性质 10．（2023春·河南许昌·八年级统考期中）如图，为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 11．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，C是线段的中点，与都是等边三角形，连接和交于点O，与交于点F，和交于点G，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③是等腰三角形；④．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2023春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在中，，，，、、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为，其中所有正确的序号是（   ）    A． B． C． D． 题型五：等边三角形的判定 13．（2020春·广东揭阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN= ． 14．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，已知，点是的平分线上一点，点，分别是边，上的点，且．    (1)求证：是等边三角形； (2)若点到的距离为，则 ______ ． 15．（2023·全国·八年级专题练习）如图，是等边三角形，是的中点，，且．求证： (1)； (2)是等边三角形． 题型六：等腰（边）三角形的综合问题 16．（2023秋·湖北武汉·八年级