5.4二次函数与一元二次方程（2）教学设计 　　　2022—2023学年苏科版数学九年级下册

5.4二次函数与一元二次方程（2） 【教学目标】会利用二次函数图像中函数值为0的点的位置特征，采用缩小范围、初步逼近的方法，借助计算器求出一元二次方程的近似解，进一步体会一元二次方程与二次函数的关系； 【重点】含参二次函数图像与x轴位置关系的判断. 【难点】运用二分法、对称性求方程根的近似值； 【教学过程】 活动一、观察这个式子，你能想到什么？ x2+2x-5=0 这是一个一元二次方程，还能想到二次函数y=x2+2x-5,并且函数图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程的根. 请大家画出函数图像，通过观察函数图像，你能看出一元二次方程根的具体值是多少吗？ 分析：可以发现，当x=1时，y=-2，在x轴的下方；而当x=2时，y=3，在x轴的上方.因为抛物线是一条连续不断的曲线，所以抛物线在1<x<2这一段经过x轴.也就是说，当x取1和2之间某个值时，函数值为0，即方程x2+2x-5=0在1、2之间有根；同理，另一根在-4到-3之间，即1<x1<2,-4<x2<-3. （一）二分法 有什么办法缩小根所在的范围？有同学可能会借助计算器，比如：以正根为例，精确到0.1 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 -4 -3 2 1 当x=1.4,y=-0.24<0,在x轴下方; 当x=1.5,y=0.25>0，在x轴上方； 所以，1.4<x1<1.5，x1≈1.4. 重复上述步骤： x 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 y -0.1919 -0.1436 -0.0951 -0.0464 0.0025 0.0516 所以，1.44<x1<1.45，x1≈1.45. x 1.441 ... 1.447 1.448 1.449 1.450 y -0.041519 ... -0.012191 -0.007296 -0.002399 0.025 所以，1.449<x1<1.450，x1≈1.449. ... 还可以取平均数的方法，不断缩小根所在的范围；比如： x 1 1.25 1.375 1.4375 1.5 2 y -2 -0.9375 -0.359375 -0.05859375 0.25 4 x=(1+2)/2=1.5 ,y=0.25,所以1<x1<1.5; x=(1+1.5)/2=1.25 ,y=-0.9375,所以1.25<x1<1.5; x=(1.25+1.5)/2=1.375 ,y=-0.359375,所以1.375<x1<1.5; x=(1.375+1.5)/2=1.475 ,y=-0.05859375,所以1.4375<x1<1.5; 可以看到根所在范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 因为|1.4375-1.5|=0.0625<0.1，所以x1≈1.4375. 因为这种方法是通过不断的取平均数进行估计的，因而称为二分法. 问：你能不能选择以上两种方法中的任意一种来确定方程x2+2x-5=0另一个根的近似值？如果你会，动笔写写. x -4 -3.5 -3.4375 -3.375 -3.25 -3 y 3 0.25 -0.05859375 -0.359375 -0.9375 -2 因为-3.5-（-3.4375）|=0.0625<0.1，所以x2≈-3.4375. 还有其他方法吗？可不可以根据对称性求呢？ （2） 对称性 对称轴：直线x=-1，x1≈1.4375,因为对称点到对称轴的距离相等，所以以求得x2≈-3.4375. 之前都是利用二次函数图像求对应的一元二次方程根的值，换个角度看方程x2+2x-5=0，你还能想到其它函数吗？ x2+2x-5=0 在同一坐标轴里画出这两个函数的图像，于是这两个函数的公共点的横坐标就是一元二次方程的根； x2=-2x+5 二次函数 一次函数 得：1<x1<2,-4<x2<-3，接下来与之前类似. y=x2 y=-2x+5 2、 例题讲解 例 已知二次函数y=x2-2x-2的部分值如下表，结合前面的经验你能确定一元二次函数x2-2x-2=0的根的近