第12章　两数和乘以这两数的差（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（华东师大版）

湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 《新教案》word版 课题　两数和乘以这两数的差 【学习目标】 1．认识平方差公式，并了解公式的意义； 2．会用平方差公式简化、计算、解决简单的实际问题； 3．通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一． 【学习重点】 理解并运用平方差公式化简计算并解决数学问题． 【学习难点】 理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式，把公式中的结构特征与实际问题联系起来． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 知识链接：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识． 知识链接：1.整式的乘法法则：(1)单项式乘以单项式；(2)单项式乘以多项式；(3)多项式乘以多项式． 2．数学方法：由一般到特殊． 3．平方差公式的特征：相同项的平方与相反项的差．情景导入　生成问题 1．问题：复习多项式的乘法法则并填空：(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn． 2．在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：21×49＝________和103×97＝________，主持人话音刚落，就立刻有一个学生站起来抢答说，“第一题等于1029，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出，同学们，你知道他是如何计算的吗？你想不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？学了本节之后，你也能计算的如此快． 自学互研　生成能力 阅读教材P30～P32，完成下面的内容： 1．计算： (1)(x＋2)(x－2)；(2)(1＋3a)(1－3a)． 解：(1)原式＝x2－4；(2)原式＝1－9a2. 2．问题：在完成上述计算练习中，你发现了什么特点？等式左边有什么特点？等式右边有什么特点？ 左边为两数和与两数差的积，右边结果为两数(或式)的平方差． 3．平方差公式的代数方法推导： (a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2(多项式乘法法则)＝a2－b2．(合并同类项) 语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 4．平方差公式结构特征： (1)左边是两个二项式相乘，二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是乘式中两项的平方差； (3)平方差公式的几何解释： 观察教材图12.3.1发现：等式左边可表示为(a＋b)(a－b)，等式右边可表示为a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 5．理解平方差公式： 问题：(1)下列各式都能用平方差公式吗？ ①(a－3)(a＋3)；(能)　　　　　②(a＋3)(a－2)；(否) ③(－a＋3)(－a－3)；(能) ④(a＋3)(－a－3)；(否) ⑤(－a－3)(a－3)．(能) (2)能否用平方差公式，你有什么更快更好的判断方法吗？ 答：两个多项式中：两项相等，两项互为相反数． (3)在平方差这个结果中谁作被减数，谁作减数，你还有什么办法确定？ 答：相同项的平方减去相反项的平方． 　学法指导：不能直接使用平方差公式的，首先应用加法的交换律互换一下位置，看能不能满足平方差公式． 学法指导：1.平方差公式使用需注意： (1)特点：相同项的平方减去相反项的平方．运用平方差公式进行乘法运算时一定要注意找准相同项和相反项； (2)注意：公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式； 2．运用平方差公式进行简便运算时，要先根据算式中的数的特征将算式写成两数和乘以两数差的形式，再运用平方差公式． 学法指导：多个多项式相乘，要注意观察每个多项式的特点，看是否能用公式化简． 行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间． 范例1：计算： (1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(2y－x)(－2y－x)；(3)；(4)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)． 解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x2－4； (2)原式＝(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2； (3)原式＝－(5y)2＝x2－25y2； (4)原式＝(y2－3x2)(y2＋3x2)＝(y2)2－(3x2)2＝y4－9x4. 仿例：计算： (1)；(2)(－2＋x)(－2－x)； (3)(2x＋y)(2x－y)；(4)(－3x－2y)(2y－3x)． 解：(1)原式＝－＝－y2； (2)原式＝(－2)2－x2＝4－x2； (3)原式＝(2x)2－y2＝4x2－y2； (4)原式＝(－3x＋2y)(－3x－2y)＝(－3x)