13.5 课题3　角平分线（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（华东师大版）

角平分线 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 学习目标 1．通过尺规作图，理解角平分线的概念，探究角分线的性质和判定； 2．角平分线的性质和判定的运用； 3．培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神． 【学习重点】 探究角平分线的性质． 【学习难点】 角平分线的性质和判定的联系与区别． 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 情景导入 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴． 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，你发现PD与PE有什么关系？ 答：PD与PE重合，即PD＝PE. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 知识模块一　探究角平分线的性质定理和判定定理 自学互研 阅读教材P96～P98，完成下面的内容： 探究：由情景导入得出：PD＝PE，你能证明这个结论吗？ 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC. 又∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO. ∵OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(A.A.S.)． ∴PD＝PE. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 反之，如果点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，且PD＝PE，那么，点P在∠AOB的平分线上吗？ 证明：连结OP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 又∵OP＝OP，PD＝PE， ∴△PDO≌△PEO(H.L.)． ∴∠AOP＝∠BOP. ∴OP平分∠AOB. ∴点P在∠AOB的平分线上． 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 (1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． (2)角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 归纳： 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在角平分线上 这个点到角两边的距离相等 这个点在角平分线上 一个点到角两边的距离相等 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 已知：点P是∠CAB的平分线上的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.PE＝5cm，那么PF＝____cm. 范例1 5 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 范例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD为∠BAC 的平分线，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求CD的长． 解：过点D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°即AC⊥CD， ∴DE＝CD. ∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD ＝ AC×CD＋ AB×DE＝28， ∴ ×16CD＋ ×12CD＝28. ∴CD＝2cm. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, A B C P M N D E F ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 知识模块二　运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题 范例 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， 交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.试证明：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°. 又∵DB＝DC， ∴△DEB≌△DFC(H.L.)． ∴BE＝CF. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上　　　 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE