2.5.1直线和圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置 复习 问题1 回忆初中所学，直线和圆的位置关系有哪些？ 问题2 在上面三种情况中，圆心到直线的距离与半径的大小关系如何？ 交 2 新课讲授 1、交点个数 2、方程组解的个数 3、圆心到直线的距离与半径的关系 问题3 据此，你能想到如何判断直线与圆的位置关系吗？ 交 3 典型例题 例1 已知直线：3和圆心为的圆 . （1）判断直线与圆的位置关系； （2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 解：联立直线和圆的方程 消去，得解得 所以，直线和圆相交，有两个公共点. 把分别代入方程得的两个交点为，. 因此， . 4 典型例题 解法一： 1.解方程组得两交点坐标 2.由两交点间距离求得弦长| 3.弦长公式 例1 已知直线：3和圆心为的圆 . （1）判断直线与圆的位置关系； （2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 5 典型例题 例1 已知直线：3和圆心为的圆 . （1）判断直线与圆的位置关系； （2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 解：（1）圆的方程可化为=5， 因此圆心的坐标为(0,1)，半径为， = = ＜ 所以直线与圆相交，有两个公共点. 圆心到直线的距离为 （2）如图， 在Rt△CBD中，由勾股定理得 6 典型例题 解法二： 1、由弦心距与半径的关系判断位置关系 2、Rt△CBD在（圆心、弦中点、弦端点围成一个直角三角形），（半径2=弦心距2+半弦2） 例1 已知直线：3和圆心为的圆 . （1）判断直线与圆的位置关系； （2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 7 过点M(－4,0)作直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 补充练习 解：（1）圆C方程可整理为(x＋1)2＋(y－2)2＝25.如图所示， 由已知得，|AB|＝8，|CA|＝5，作CD⊥AB于D. 在Rt△CAD中，|CD|＝＝3. 设所求直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x＋4)， 即kx－y＋4k＝0. ∵圆心到直线的距离为3，∴＝3，∴k＝. ∴所求方程为y＝ (x＋4)，即5x＋12y＋20＝0. （2）当直线l斜率不存在时，直线方程为x＋4＝0. 联立方程组得y2－4y－12＝0，得y1＝6，y2＝－2. 即A(－4,6)，B(－4，－2)， |AB|＝|6－(－2)|＝8，符合题意． 故所求直线方程为5x＋12y＋20＝0，或x＋4＝0. 过点M(－4,0)作直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 补充练习 9 课堂练习 10 课堂练习P93 直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长. 11 典型习题 1.已知圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦． (1)当α ＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程． 2.设圆C：x2＋y2－4x－5＝0的一条弦的中点为P(3,1)，则该弦所在直线AB的方程是________． 12 补充练习 1.过点(2,1)的直线中，被x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线方程是(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x＋y－5＝0 2.过点(2,1)的直线中，被x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最短的直线方程是________. 13 典型例题 例2 求过点作圆： =1的切线，求切线的方程. 由圆心到切线的距离等于圆的半径1，得，解得=0或 . 所求切线的方程为或. 解：设切线的斜率为，则切线的方程为，即. 14 解法二：设切线的斜率为，则切线的方程为. 解得=0或. 因为直线与圆相切，所以方程组，只有一组解. 消元得此方程只有一个解. 所以 所以，所求切线的方程为=1，或. 例2 求过点作圆： =1的切线，求切线的方程. 典型例题 典型例题 例2 求过点作圆： =1的切线，求切线的方程. 例2改编题： 求过点作圆： =1的切线，求切线的方程. 16 同类练习 解：∵22＋42>4， ∴点A在圆x2＋y2＝4外． 设过点A的切线方程为l：y－4＝k(x－2)， 则圆心(0,0)到l的距离为d＝， 由d＝2知(4－2k)2＝22(1＋k2)，得k＝， 故3x－4y＋10＝0或x＝2(当k不存在时)为所求的切线方程． 17 课堂练习P93 2.已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程． 18 典型例题 解：建立如图所示的直角坐标系，点，的坐标分别为， . 设圆心坐标是，圆的半径是，那么圆的方程为. 因为两点都在圆上，所以它们的坐标， 都满足圆的方程.于是得