第四章 幂函数、指数函数与对数函数（4大知识归纳+6大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第一册）

第四章 幂函数、指数函数与对数函数 （知识归纳+题型突破） 一、 幂函数的图象与概念 1、幂函数的概念与图象 （1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）幂函数的特征：①xα的系数是1；②xα的底数x是自变量；③xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数． （3）幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 二、 指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 指数函数的底数对图象相对位置的影响： (1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”； (2)在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”. 三、对数函数的概念 1、对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】 （1）当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，越大，图象向右越靠近轴；时，越小，图象向右越靠近轴. （2）对数函数y=logax与y=x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称. （3）单调性相同的对数函数，它们位于直线右侧部分的图象满足“底大图低”的规律. 利用此性质可比较不同对数函数的底数大小，具体方法如下：作直线与各个对数函数的图象，在第一象限内，从左到右，对数函数的底数逐渐增大. 四、指数、对数型复合函数的单调性、值域求法 1、指数型复合函数单调性的求法 （1）形如且的函数的单调性的判断方法 　　当时，函数的单调递增(减)区间即为函数的单调递增(减)区间；当时，函数的单调递减(增)区间即为函数的单调递增(减)区间. （2） 形如(且)的函数的单调性的判断方法 　　通过内层函数的值域确定外层函数的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间. 2、指数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 （2）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域. 3、对数型复合函数单调性的求法 （1）“定义域优先”原则： 　　单调区间是定义域的子集. 求函数的单调区间时一定要先求其定义域. （2）与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的复合函数，当a>1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=loga f(x)的单调性与的单调性相反. 形如y=f(logax)(且)的复合函数，一般用复合函数单调性的规律判断，先令t=logax，然后只需研究t=logax与的单调性即可. 4、对数型复合函数值域的求法 （1）形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域. （2）形如（，且）的函数的值域 换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域. 题型一：幂函数、指数函数与对数函数的概念 例1.1　已知是幂函数，求的值． 例1.2若函数是指数