15.4 课题9 角平分线的性质与判定（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（沪科版）

课题：角平分线的性质与判定 15.4 角的平分线 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 1．探索角平分线的性质定理和它的逆定理； 2．通过探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，增强几何空间意识． 学习目标 【学习重点】 掌握角平分线的性质定理和逆定理． 【学习难点】 运用角平分线定理简化证明线段相等． 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 情景导入　生成问题 问题导入： 如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D为垂足，根据你学过的知识，从图中你能得到哪些结论？写出这个问题的已知、求证，并给出证明． 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 答：已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C. 求证：PD＝PC. 证明：∵OP平分∠AOB(已知)． ∴∠AOP＝∠BOP(角平分线定义) 又∵PC⊥OA，PD⊥OB(已知)， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°(垂直的定义) 在△PCO和△PDO中， ∠AOP＝∠BOP（已证）， ∠PCO＝∠PDO（已证）， OP＝OP（共公边）， ∴△PCO≌△PDO(AAS)， ∴PC＝PD. ∵ 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 自学互研　生成能力 知识模块一　角平分线的性质 从问题导入的证明中，你发现角平分线上的点有什么规律？ 阅读教材P143～P144的内容，回答下列问题： 答：角平分线上的点到角两边的距离相等，这就是角平分线的性质． 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 典例： 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC＝4，则PD＝(　 　) A．4　　　　　B．3　　　　　 C．2　　　　　D．1 C 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 仿例： 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝∠BAD＝30°，DE⊥AB，若CD＝2，则DE＝ ． 2 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 知识模块二　角平分线的判定 角平分线的性质定理的逆定理是什么？ 阅读教材P144～P145的内容，回答下列问题： 答：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 典例： 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 (　 　) A．三条中线的交点　　　　　　　 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 D 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 仿例： 如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°. 又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD， ∴△BDF≌△CDE(AAS)， ∴DF＝DE， ∴点D在∠BAC平分线上，AD平分∠BAC. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 本节课你学习了哪些知识？ 1、角平分线的性质； 2、角平分线的判定. 归纳总结 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 随堂练习 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 解：连接OC M E N A B C P O D 2.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4. 若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 随堂练习 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. (2)在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB (HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. E D C B A 6 8 10 3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功 4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分