13.2.4 三角形的外角（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（沪科版）

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 13.2 命题与证明 13.2.4 三角形的外角 旧知回顾 导入新课 1．三角形内角和定理是什么？推论有哪些？ 答：三角形内角和为180°. 2．把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1＝60°, 则∠2＝ ． 150° 推论1：直角三角形两锐角互余； 推论2：有两角互余的三角形是直角三角形． 探究新知 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D △ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠ A、 ∠ B有怎样的关系？ 证明： △ABC中 ∵∠A+∠B+∠ACB=180° （三角形内角和定理） ∠ACB+∠ACD=180°（平角定义） ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换） C B A D 推论3 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 结论 A B C 画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 探究新知 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角 C B A D 每一个三角形都有6个外角． 知识归纳 例题与练习 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角 求证： ∠1+∠2+∠3=360° A B C 1 2 3 证明： ∵∠1=∠ABC+∠ACB ∠2=∠BAC+∠ACB ∠3=∠BAC+∠ABC, 例 ∴ ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).（等式性质） ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理） ∴∠1+∠2+∠3=360°. （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 典例 如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(　 　) A．85°　　　 B．80°　　　　C．75°　　　D．70° A 1.如图1，∠α与∠β的度数和为 ． 270° 2.已知如图2，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于 ． 115° 图1 图2 仿例 3.如图3，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝ 度． 80 4.如图4，∠3＝120°，则∠1－∠2＝ . 60° 图3 图4 仿例 变例 如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°. 求：(1)∠BDC的度数； (2)∠BFC的度数． 解：(1)∵∠BDC是△ADC的外角， ∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°； (2)∵∠BFC是△BDF的外角， ∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°. 三角形的外角性质2 推论4 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. A B C D ∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C 探究新知 问题 如图，比较△ABC的外角∠CAD与其不相邻的两内角(∠B，∠C)大小？ 结论 例题与练习 范例 如图，∠A、∠DBC、∠DEC的大小关系是(　 　) A．∠A > ∠DBC > ∠DEC　　 B．∠DEC > ∠A > ∠DBC C．∠DEC > ∠DBC > ∠A D．∠DBC > ∠A > ∠DEC C 仿例 如图，点D是△ABC的外角平分线CD与BA的延长线的交点，求证：∠BAC >∠B. 证明：∵∠BAC是△ACD的一个外角， ∴∠BAC >∠1， 又∵CD平分∠ACE， ∴∠1＝∠2， ∴∠BAC >∠2. 又∵∠2是△BCD的一个外角， ∴∠2 >∠B， ∴∠BAC >∠B. 随堂练习 1.填空： （1）如图，∠ABC = ，∠1= ； （2）在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是 . A D B C E 60° 110° 1 50° 130° 90° 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 2 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C