4.3相似三角形的判定（重难点突破＋AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

4.3 相似三角形的判定（重难点＋AB分层训练） 【知识点一、相似三角形的判定定理】 (1) 判定定理1：如果三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. （简称：两角对应相等，两个三角形相似）.如图，，则. (2) 判定定理2：如果两个三角形的三组对边对应成比例，那么这两个三角形相似. （简称：三边对应成比例，两个三角形相似）.如图，，则. (3) 判定定理3：如果两个三角形的两组对边对应成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似. （简称：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）.如图，，，则. 考点1 两个三角形相似的条件 例1． （2023春·山东滨州·九年级校联考阶段练习）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 【变式训练1-1】（2023秋·甘肃兰州·九年级兰州市外国语学校校考期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-2】（2023秋·广西崇左·九年级统考期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）如图，，是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得，则下列选项不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点2 证明两个三角形相似 例2． （2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【变式训练2-1】（2023春·八年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F． （1）求证：△AEB∽△CFB； （2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长． 【变式训练2-2】（2023春·江苏·八年级期末）如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若，求证：△ADE∽△ABC． 【变式训练2-3】（2023春·八年级单元测试）如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF． 【变式训练2-4】（2023·上海·九年级假期作业）如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 考点3 相似三角形对数的确定 例3． （2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，高、相交于点F．图中与一定相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3-1】（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在中，是斜边上的高，，垂足为，则图中与相似的三角形（不包括）共有（　　）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式训练3-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，在中，.则图中相似三角形共有（　　）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式训练3-3】（2023·上海·九年级假期作业）下列各组中的两个图形一定相似的有（　　） （1）两个等腰三角形；    （2）两个直角三角形；    （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形；    （5）两个矩形；            （6）两个菱形； （7）两个正方形；        （8）两个等腰梯形；        （9）两个圆． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【变式训练3-4】（2022春·八年级单元测试）如图，经平移得到，，交于点，则图中共有相似三角形（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 考点4 格点中相似三角形的相关问题 例4． （2023秋·河北承德·九年级统考期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（    ） A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③ 【变式训练4-1】（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A．B．C． D． 【变式训练4-2】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（    ）    A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【变式训练