15.4角的平分线（优质题库）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（沪科版）

湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 15.4 角的平分线 专题一 角平分线知识的应用 1.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，�AB=18cm，BC=12cm，求DE的长． 2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE. 　　求证：AC－AB＝2BE. 　 专题二 作图与实际问题 3.如图，点B、C在∠SAT的两边上，且AB=AC. （1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹） ①AN⊥BC，垂足为N； ②∠SBC的平分线交AN延长线于M； ③连接CM. （2）该图中有__________对全等三角形. ( A B S C T ) 4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E满足：①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）. 专题三 角平分线中的探究题 5.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC； ( 图2 图1 ) （2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC； （3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。 6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA�于D，交AC于E． （1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明． （2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？ （3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC�的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？ 【知识要点】 1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等. 2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【温馨提示】 1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点. 2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离. 【方法技巧】 1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明. 2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等. 参考答案 1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF． ∵S△ABC=36cm2，S△ABD =BC·DF． 又∵S△ABC =S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴×18DE+×12DF=36， ∴9DE+6DF=36． 又∵DE=DF，∴9DE+6DE=36，∴DE=cm． 2.证明：延长BE交AC于点M， 　　∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°. 　　在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1. ( N A B S C T M )　　同理，∠4＝90°－∠2. 　　∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM. 　　∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM. 　　∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C. 　　∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5， ∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C. ∴∠5＝∠C，∴CM＝BM.∴AC－AB＝BM＝2BE. 3.（1）如图;（2）3. 4.如图,坐标为(2,2). 5.（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B＝∠C，从而AB＝AC. ( 成立 不成立 )（2）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF. 在Rt△OFB和Rt△OEC中，∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC. ∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC. （3）不一定成立。 （注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）. 6.（1）①BD=DI，CE=EI；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC． 证明：因BI平分∠DBC， ∴∠DBI=∠CBI， 又 ∵DE∥BC， ∴