3.3.2 抛物线的几何性质（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3．3．2 抛物线的几何性质 课程标准 学习目标 能通过抛物线的方程推出它的简单几何性质，进一步体会数形结合思想. （1）掌握抛物线的几何性质. （2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 知识点01 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练1】（多选题）（2023·高二课时练习）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（　　） A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为 知识点02 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数的几何意义是指焦点到准线的距离；恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于的值，才易于确定焦点坐标和准线方程． 【即学即练2】（多选题）（2023·广东佛山·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作的准线的垂线，垂足分别为、，则（    ） A． B．若，则A的纵坐标为4 C．若，则直线AB的斜率为 D．以为直径的圆与直线AB相切于F 知识点03 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 【即学即练3】（2023·云南昭通·高二校考期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 知识点04 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练4】（2023·全国·高二课堂例题）（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程. （2）若直线l：与曲线C：（）恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合. 知识点05 直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）， （3）直线的方程为． 【即学即练5】（2023·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【方法技巧与总结】 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取