第二十二章 二次函数的复习 教案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

二次函数 1.二次函数的概念：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 注意： （1）自变量的最高次数是2； （2）二次项的系数a≠0； （3）二次函数解析式必须是整式． 2.二次函数的性质： ①a＞0，开口向上，有最小值；a＜0，开口向下，有最大值； |a|越大，开口越小； ②对称轴为直线x=h；（即使平方部分=0的x的取值） ③顶点均为（h,k） ④在对称轴左右两侧增减性相反；a＞0，左减右增；a＜0，左增右减 ⑤平移的规律：上加下减，左加右减 3.二次函数的一般式： 二次函数： （1） 此函数的对称轴为直线； （2） 若函数与x轴相交于点，则对称轴可表示为直线； （3） 若函数与x轴相交于点（特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为 直线． 4.二次函数比较函数值的大小 （1）口向上： 当对称轴在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值； 当对称轴不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值． （2）开口向下： 当对称轴在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值； 当对称轴不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值． 5.二次函数的顶点式： 二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方法化成y=a(x-h)2+k的形式，即，因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=，顶点是． 6.二次函数a，b，c符号的确定： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定． 开口向上a>0 开口向下a<0 （2）c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定． 交点在x轴上方c＞0 交点在x轴下方c＜0 经过坐标原点 c＝0 （3）b的符号：由对称轴的位置确定． 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧a、b异号 对称轴是y轴 b=0 （4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定． 与x轴有两个交点b2-4ac＞0 与x轴有一个交点b2-4ac＝0 与x轴有无交点 b2-4ac＜0 （5）a+b+c的符号：当x=1时，可确定a+b+c的符号． a-b+c的符号：当x= -1时，可确定a-b+c的符号； 4a+2b+c的符号：当x=2时，可确定4a+2b+c的符号； 4a-2b+c的符号：当x=-2时，可确定4a-2b+c的符号． （6）2a+b，a+b：当只包含a、b的式子时，由对称轴公式与对称轴比较，可确定符号； （7）a+c、2b+c等只出现a、c或者b、c两个字母的式子，需要先根据对称轴得到的a、b的关系式，将代数式转换成含有a、b、c三个字母的式子，然后再赋值去判断；除此以外，还可以考虑用假设法或者方程思想去解决问题 （8）类似am²+bm+c≤a+b+c，需要去判断当x取m的时候与x=1时的函数值的大小比较； 7.面积最值问题 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”．三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 8.方法总结 （1）找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽； （2）求出直线BC的解析式，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高； （3）根据公式: S△=×水平宽×铅锤高，可求出面积． 例1．已知是二次函数，则m=　　　　　　． 1．若函数y=（m﹣2）x|m|是二次函数，则m=　　　　　　． 2．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________． 3．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________． 4．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线． 5．抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________． 6．抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，开口 ，对称轴为 ；它们的形状__________，当= 时，有最 值是 ． 7.抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______； 当x＝ 时，y有最