6.4 数据的离散程度（优质题库）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（北师大版）

湖北鸿鹄志文化传媒有限公司 6.4 数据的离散程度 1．极差 定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围． 谈重点 极差 (1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定． 【例1】 在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是__________cm. 解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)． 答案：15 2．方差 (1)定义：设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－)2，(x2－)2，(x3－)2，…，(xn－)2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差． (2)方差的计算公式：通常用s2表示一组数据的方差，用表示这组数据的平均数． s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(xn－)2]． (3)标准差：标准差就是方差的算术平方根． 谈重点 方差 (1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k2倍． 【例2】 已知两组数据分别为： 甲：42,41,40,39,38； 乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5. 计算这两组数据的方差． 解：甲＝×(42＋41＋40＋39＋38)＝40， s＝×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2. 乙＝×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40， s＝×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104. 3．极差与方差(或标准差)的异同 相同之处： (1)都是衡量一组数据的波动大小的量； (2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定． 不同之处： (1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况； (2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂． 【例3】 已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)： 甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179 乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180 (1)将下表填完整： 身高(cm) 176 177 178 179 180 甲队(人数) 3 4 0 乙队(人数) 2 1 1 (2)甲队队员身高的平均数为_________cm，乙队队员身高的平均数为_________cm； (3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？ 解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2； (2)178,178； (3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2 cm和4 cm，方差分别是0.6和1.8. 4.运用方差解决实际问题 方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题． 对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处． 方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现． 点技巧 方差反映波动情况 在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比较来解决问题． 【例4】 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 92 80 95 90 80 8