1.3　勾股定理的应用（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（北师大版）

3　勾股定理的应用 教师备课　素材示例 ●置疑导入　如图①，有一个圆柱，它的高等于8 cm，底面上圆的周长等于12 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 　　 (1)自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ (2)如图②，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？ (3)蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【教学与建议】教学：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短路程问题转化为平面最短距离问题，并利用勾股定理求解．建议：学生分小组合作探究蚂蚁爬行的最短路线，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法． ●情景导入　多媒体投影图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B. (1)各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗？ (2)如图，假设入口A到拐角C处3 m，拐角C到健身器材B处4 m，你能计算出直接从A到B，他们少走了几步吗？(假设2步为1 m) 解：∵AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25， ∴AB＝5 m，5×2＝10(步). 3＋4＝7(m)，7×2＝14(步). 14－10＝4(步). 答：他们少走了4步． (3)今天我们共同研究一个类似的问题：如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁想吃在B处的食物，同学们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 【教学与建议】教学：让学生回顾勾股定理以及两点之间，线段最短的知识，为新课的学习做好铺垫．后面又以实际问题引领学生思考导入课题．建议：引导学生把问题转化成用“两点之间，线段最短”解决． 命题角度1　利用勾股定理求平面图形有关线段的长度 利用勾股定理求平面图形有关线段的长度问题，构造直角三角形求解． 【例1】(1)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC＝__6或10__． (2)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长． 解：在Rt△ABD中，AD＝＝＝. 在Rt△ADC中，AC＝＝＝. 命题角度2　利用勾股定理解决最短路径问题 平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算． 【例2】(1)如图，在底面周长为12 m，高为8 m的圆柱体上有A，B两点，则从A点沿圆柱体表面到B点的最短距离为(C) A．4 m B．8 m C．10 m D．5 m 　　　 (2)如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2 m、0.3 m、0.2 m，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是__2.5__m. 命题角度3　利用勾股定理解决实际生活中的长度问题 利用勾股定理求长度问题，关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．在构造的直角三角形中，利用勾股定理求解． 【例3】(1)小华想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m，当他把绳子的下端拉开10 m后，发现绳子刚好接触到地面，则旗杆的高度是(C) A．10 m B．12 m C．24 m D．20 m (2)你听说过亡羊补牢的故事吧？为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__1.5__m__长． 高效课堂　教学设计 1．能灵活运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题． 2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展和培养空间观念． 3．在将实际问题抽象成几何图形时，渗透数学建模思想． ▲重点 应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． ▲难点 从实际问题中合理抽象出数学模型． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 多媒体投影图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B. 问题1：各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗？ 问题2：如图，假设入口A到拐角C处3 m，拐角C到健身器材B处4 m，你能计算出小草受伤的代价是他们少走几步吗？ (假设2步为1 m) 解：AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，AB＝5 m，5×2＝10(步). 3＋4＝7(m)，7×2＝14(步). 14－10＝4(步). ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】直角三角形的判定 李叔叔想要检测如图所示的雕塑底座正