1.1 第2课时　验证勾股定理及其简单计算（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（北师大版）

第2课时　验证勾股定理及其简单计算 教师备课　素材示例 ●复习导入　(1)勾股定理的内容是__直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方__． (2)上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索，发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法了，这节课我们也将验证勾股定理． 【教学与建议】教学：复习勾股定理内容；回顾上节课的探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证；介绍世界上有数百种验证方法，激发学生的兴趣．建议：引导学生回顾勾股定理的内容，教师强调还需进行验证． ●置疑导入　伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法． 问题：如图，伽菲尔德是这样验证勾股定理的，你能写出验证理由吗？ 【教学与建议】教学：本节课巧妙引用“总统”证法引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲．建议：利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积和来证明． 命题角度1　勾股定理的验证 拼图验证其思路就是利用两种方法表示组成的图形的面积，根据“大的图形的面积等于各个组成部分的面积的和”得出关系式． 【例1】如图是由4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，你能利用这个图形验证勾股定理吗？ 解：假设b＞a，该图形的面积有两种求法：一种为正方形的面积＋两个直角三角形的面积，一种为两个正方形的面积＋两个直角三角形的面积． 根据两种求法的面积相等可得c2＋2×ab＝b2＋a2＋2×ab，化简得c2＝b2＋a2. 命题角度2　勾股定理与折叠问题 图形的折叠问题实际上是对称问题，解决的关键是抓住对称的性质．利用勾股定理来列方程，灵活运用数形结合、方程等数学思想，对线段长度、图形面积等问题进行求解． 【例2】(1)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝6，那么线段BE的长度为(D) A．6 B．6 C．2 D．3 　　　 (2)如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为____． 命题角度3　运用勾股定理解决实际问题 针对实际问题中的长度求解时，需要注意在直角三角形中，线段间的数量关系及位置关系． 【例3】(1)为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5 m的木梯，准备把梯子架到2.4 m高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A) A．0.7 m B．0.8 m C．0.9 m D．1.0 m (2)交警在限速70 km/h的某城区路段观测点查超速．某一时刻小汽车刚好行驶到路边车速检测仪A正前方60 m的B处，过了4 s后，测得该小汽车的位置C与车速检测仪A之间的距离为100 m，则这辆小汽车__超__速．(选填“超”或“没超”) 高效课堂　教学设计 1．掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题． 2．经历勾股定理观察、猜想、验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想． 3．通过勾股定理解决实际问题，培养学生的探究意识和合作交流习惯． ▲重点 熟练应用拼图法验证勾股定理． ▲难点 用勾股定理解决问题． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法． 问题：伽菲尔德是利用上图“总统”证法验证勾股定理的，你能利用它验证勾股定理吗？ ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】拼图验证勾股定理 如下课件中图①是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证． 　 　　　 问题1：图②中正方形ABCD的边长是__a＋b__，正方形ABCD的面积可表示为__(a＋b)2__． 问题2：图②中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为__4×ab＋c2__． 问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应__相等__． 问题4：现在，你能验证勾股定理吗？ 问题5：利用图③如何验证勾股定理？ 【探究2】自主探究：深入了解勾股定理的证法 先阅读教材第4页下面的内容和第5页“做一做”