1.3　勾股定理的应用（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（北师大版）

第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 北师版 八年级 数学（上） 导入新课 多媒体投影图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B. 问题1：各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗？ 问题2：如图，假设入口A到拐角C处3m，拐角C到健身器材B处4m，你能计算出小草受伤的代价是他们少走几步吗？(假设2步为1m) 解：AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，AB＝5m，5×2＝10(步). 3＋4＝7(m)，7×2＝14(步). 14－10＝4(步). 探究新知 探究 李叔叔想要检测如图所示的雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺． 连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 （1）你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？ 在△ABD中，AD＝30cm，AB＝40cm，BD＝50cm， 因为AD2＋AB2＝302＋402 ＝900＋1600＝2500， BD2＝502＝2500， 所以AD2＋AB2＝BD2， 所以△ABD是直角三角形， 所以∠DAB＝90° 所以AD⊥AB . (3)小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？ 测量方法不唯一； 例如在AD边上测量一段AE＝6cm，在AB边上测量一段AF＝8cm， 再测量点E，F两点间的距离EF， 若EF＝10cm， 由AE2＋AF2＝62＋82＝36＋64＝100＝EF2，可知△AEF是直角三角形，且∠EAF＝90°， ∴DA⊥AB.边BC与边AB是否垂直可以用类似的方法测量． 探究新知 探究 有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的取值3) A B (1)自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ (2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？ (3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？ 思考 现在就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图)． 我们不难发现几走法： (1) A→A′→B；　(2) A→B′→B；　 (3) A→D→B； 　(4) A→B. 哪条路线是最短呢？ 第(4)条路线A→B最短． 因为“两点之间的连线中线段最短”． 蚂蚁怎么走最近？ 【归纳结论】　 B A d A B A' A B B A O A' √ 9 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，则： B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B 方法归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. A' A' ∴AB=15 例1 下图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. A E B C D 应用举例 解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为（x-1）m. 在Rt△ACE中，∠AEC=90°， 由勾股定理得 AE2+CE2=AC2， 即(x-1)2+32=x2，解得x=5. 故滑道AC的长度为5m. 例2 如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 解：当蚂蚁沿前面和上底面爬行时，最短路线如答图①所示． 此时，AC＝8cm，BC＝12＋8＝20(cm). AB2＝AC2＋BC2＝82＋202＝464. 当蚂蚁沿前面和侧面爬行时，最短路线如答图②所示． 此时，AD＝8＋8＝16(cm)，BD＝12cm. AB2＝AD2＋BD2＝162＋122＝400，AB＝20cm. ∵464>400， ∴蚂蚁爬行的最短路线为答图②的线段AB，要爬行的最短路程是20cm. 课堂小结 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短距离 勾股定理的实际应用 随堂练习 1．小雨用竹竿扎了一个长40cm、宽30cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需____cm. 50 2．如图，有两棵树，一棵高13m，另一棵高8m