1.1第2课时 验证勾股定理及其简单计算（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（北师大版）

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 验证勾股定理及其简单计算 北师版 八年级 数学（上） 导入新课 伽菲尔德是美国的第二十任总统，同时他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法． b c a b c a A B C D 探究新知 探究 图中是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形. 有不同的拼法吗？ 3 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得 化简,得 验证方法：美国总统证法 b c a b c a A B C D a a a a b b b b c c c c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理． 大正方形的面积可以表示为________； 也可以表示为___________. (a+b)2 c2 +4·ab/2 ∵ (a+b)2 = c2 + 4·ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴ a2+b2=c2 验证方法：毕达哥拉斯证法 5 c b a c a b c a b 大正方形的面积可以表示为______； 也可以表示为__________________. ∵ c2= 4· ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2 c2 4·ab/2+(b- a)2 c a 验证方法：赵爽弦图 探究新知 探究 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，但是这种方法是否具有普遍性呢？ A B C A B C 做一做 在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。 b a c 图1－4 为了方便计算图中大正方形的面积， 对其进行适当割补： S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2 c2=a2+b2 图1－5 b a c A B C D S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2 c2=a2+b2 图1－6 b a c A B C D 【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2. 数学小知识 青朱出入图 a c b 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青入 11 a b c A B C D E F O 达·芬奇对勾股定理的证明 Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 剪开 右边部分上下翻转 例1 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后汽车与他相距500m，你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？ C B 公路 400m 500m A 应用举例 在直角三角形中已知什么边？要求什么边？ 在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边． 分析：根据题意画出简单的示意图如图所示： 14 C B 公路 400m 500m A 解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002，所以BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m，那么它1h行驶的距离为300×6×60=10800（m），即它行驶的速度为108km/h. 例2 如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ M O N P Q 30km 40km 50km 120km 利用勾股定理求出斜边OM，OQ的长，再计算造价预计． 解：在Rt△MON中，由勾股定理，得OM2＝MN2＋NO2，即OM2＝302＋402＝2500， ∴OM＝50km. 在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2，即OQ2＝502＋1202＝16900， ∴OQ＝130km， 5000×(50＋130)＝900000(万元). M O N P Q 30km 40km 50km 120km 答：该沿江高速公路的造价预计是900000万元． 课堂小结 探索勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 随堂练习 1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，小红和小颖家的距离为 （