第10讲 函数与方程-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数与方程 【人教A版2019】 ·模块一 零点存在定理 ·模块二 零点个数问题 ·模块三 二分法 ·模块四 课后作业 模块一 零点存在定理 1．函数零点存在定理 (1)函数零点存在定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 【考点1 求零点所在区间】 【例1.1】（2023秋·北京丰台·高三校考阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 模块二 零点个数问题 1．零点转换 根 零点 交点 方程f(x)=0的根 函数y=f(x)的零点 f(x)图象与x轴交点的横坐标 方程f(x)=g(x)的根 函数y=f(x)-g(x)的零点 f(x)与g(x)图象交点的横坐标 【考点2 求零点个数】 【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例2.2】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数是R上的奇函数，且满足，当时，，则方程解的个数是（    ）． A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2.1】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式2.2】（2023秋·云南大理·高二校考开学考试）已知，定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，给出下列四个结论，不正确结论的是（    ）    A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有两个解 C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解 【考点3 已知零点个数求参】 【例3.1】（2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块三 二分法 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在 要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 【考点4 用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】 【例4.1】（2023