专题12 三角函数（任意角和弧度制、三角函数概念、诱导公式）压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高一数学上学期压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题12 三角函数压轴题 ——任意角和弧度制、三角函数的概念、诱导公式 1.角的概念 ①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）． ②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． ③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角． ④象限角的集合表示方法： 2.弧度制的概念 ①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． ②角度制和弧度制的互化：,,． ③扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3.任意角的三角函数 ①定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． 4.同角三角函数基本关系 ①平方关系：． ②商数关系：； 5. 三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限 题型一 任意角和弧度制 例1．（1）如图放置的边长为1的正沿轴滚动．设顶点的运动轨迹对应的函数解析式为，给出下列结论，其中正确结论的个数为（    ） ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③在其两个相邻零点间的曲线长度为； ④在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为． 说明：“正沿轴滚动”包括沿轴正方向和负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正可以沿轴负方向滚动． A．1 B．2 C．3 D．4 （2）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 （3）如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． （2）如图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是 ． （3）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    （4）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为 . （5）（1）如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动. (1)若点B的横坐标为，求的值和与角终边相同的角的集合； (2)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）.附：. 题型二 三角函数的概念 例2.(1)如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A（1，0）点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． (1)若点B的横坐标为－，求sin的值； (2)若△AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； (3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形）． (2)一个半径为R的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（    ） A． B． C． D．     (3)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与