25.3 解直角三角形（讲+练，3题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

25.3 解直角三角形 1.理解解直角三角形的含义 2. 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 3.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形 4. 会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题 知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 即学即练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形． （1） 解直角三角形的一般原则一是有斜(斜边)用弦(正、余弦),无斜用切(正切);二是尽量选择可以直接应用原始数据的关系式:三是尽量选择便于计算的关系式. （2） 解直角三角形时.若已知一锐角和一直角边，一般先用“直角三角形两锐角互余”,求出未知角的度数，然后用正弦或余弦求斜边，用正切求另一直角边. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 即学即练 （2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在中，已知 ，，，求的长． 解非直角三角形的方法运用“遇斜化直”的思想求解，先作三角形的高,构造直角三角形,然后利用已知条件分别解这两个直角三角形,即可得出要求的值. 题型一 解直角三角形 例1（2022秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在中，，是边上的高，且，则 ． 举一反三1（2022秋·上海·九年级校考期中）在中，，，，点是斜边的中点，把绕点旋转，使得其中一个锐角的顶点落在射线上，如果旋转后点落在点，点B落在点，那么的长是 ． 举一反三2（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，中，，是斜边上的高，，，点为边上点（点不与点、重合），联结，作，与边、线段分别交于点、．    (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)联结，当与相似时，求线段的长． 题型二 解非直角三角形 例2（2023秋·上海黄浦·九年级上海市民办明珠中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD= （1）试求的值； （2）试求△BCD的面积. 举一反三1（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 举一反三2（2022春·上海静安·九年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 例3（2022·上海杨浦·统考二模）一架飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为，此时飞机与该地面控制点之间的距离是 米. 举一反三1（2022秋·上海虹口·九年级统考期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板C