25.4 解直角三角形的应用（讲+练，4题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

25.4 解直角三角形的应用 1.理解解直角三角形的含义 2.会运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 3.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形 4. 会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题 知识点一 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 2.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 即学即练1（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）沈钰琴同学住在第三小学对面的金惠大厦，教学楼与金惠大厦的水平距离为，某日她在自己房间窗口P测得教学楼顶部A的俯角为，教学楼底部B的俯角为，则教学楼的高度为（    ）m    A．50 B． C． D． 即学即练2（2023·四川甘孜·统考中考真题）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    知识点二 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 即学即练1（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）钓鱼岛及其附属岛屿是我国的固有领土，台湾保岛人士组团前往钓鱼岛，宣示主权．当巡逻船航行至海面B处时（如图），测得钓鱼岛位于正北方向20海里的C处，为了防止日本海巡警干扰，就请求我A处的海监船前往C处护航．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，A位于B的北偏西30°的方向上． 求：A、C之间的距离？（结果精确到0.1海里，参考数据：，）． 即学即练2（2022秋·上海松江·九年级校考期中）一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 知识点二 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 即学即练1（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为 米． 即学即练2（2023·上海宝山·一模）如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底D处测得灯的顶端A的仰角为，在坡顶C处测得灯的顶端A的仰角为，求灯的顶端A与地面的距离．（结果保留根号） 题型一 仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 例1（2023·上海奉贤·统考一模）九（1）班同学在学习了“解直角三角形”的知识后，开展了“测量学校教学大楼高度”的活动中，在这个活动中他们设计了以下两种测量的方案： 课题 测量教学大楼的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 测得数据 甲楼和乙楼之间的距离米，乙楼顶端D测得甲楼顶端B的仰角，测得甲楼底端A的俯角 甲楼和乙楼之间的距离米，甲楼顶端B测得乙楼顶端D的俯角，测得乙楼底端C的俯角， 参考数据 ，，，，，，，，． 请你选择其中一种方案，求甲楼和乙楼的高度．（结果精确到1米） 举一反三1（2023·上海嘉定·模拟预测）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度． 下面是两个方案及测量数据：