第14章 整式的乘法与因式分解14．3.2　公式法（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解 14．3 因式分解 情景导入-合作探究-当堂演练-板书设计 14．3.2　公式法 第1课时　运用平方差公式分解因式 情景导入 1．乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_______． 2．计算：(1)(x＋2)(x－2)＝_______； (2)(2m＋3n)(2m－3n)＝__________； (3)[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝____． a2 － b2 x2－4 4m2－9n2 4xy 温故 合作探究 知识板块一　用平方差公式分解因式 平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 整式乘法 因式分解 这种分解因式的方法称为公式法. a2－b2= (a+b)(a－b) ) )( ( b a b a - + = b2 a2 - ) )( ( b a b a b2 a2 - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 . 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 例1 分解因式： (1)4x2 － 9; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2. 在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 = (2 x) 2 －3 2 ，即可用平方 差公式分解因 式；在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为m 2 － n 2. 分析： 解： (1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2 = (2x ＋ 3)(2x － 3)； (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2 = [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ] = (2x ＋ p ＋ q)(p － q). “两项、异号、平方形式”是避免错用平方差 公式的有效方法． 例2 分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1； (4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2. 对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平 方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因 式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将 (a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因 式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为 整体，运用平方差公式进行分解因式． 分析： 解： (1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)； (2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)； (3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)； (4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)； 解： (5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－ (x－y＋z)] ＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z) ＝2y(2x＋2z) ＝4y(x＋z)． 合作探究 知识板块二　平方差公式在分解因式中的应用 用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式，要先提取公因式，再用平方差公式分解因式. 分解因式： (1) x4－y4; (2) a3b － ab. 对于(1)， x4－y4可以写成(x2) 2 － (y2) 2的形式，这样就可以利 用平方差公式进行因式分解了对于(2)， a3b － ab有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解. 例3 分析： 分解因式，必须进 行到每一个多项式因式都不能再分解为止. (1) x4－y4 =(x2 ＋ y2)( x2 － y2) = (x2 ＋ y2) (x＋ y) ( x － y) ； (2) a3b － ab =ab(a2 － 1) = ab(a ＋1)(a － 1). 解： 求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 证明：依题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n. ∵8n是8的n倍，∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 例4 当堂演练 D 1.下列因式分解正确的是(　　) A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2) 2.把x3－9x分解因式，结果正确的是(　　) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3) 当堂演练 D 当