第14章 整式的乘法与因式分解14．2.1　平方差公式（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（人教版）

第十四章 整式的乘法与因式分解 14．2 乘法公式 情景导入-合作探究-当堂演练-板书设计 14．2.1　平方差公式 情景导入 你能说一说多项式与多项式相乘的运算法则吗？ 温故 答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 合作探究 知识板块一　幂的乘方法则 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1)(x＋1)(x - 1)＝___________； (2)(a＋3)(a－3)＝ ___________ ； (3)(m＋n)(m－n)＝ ___________ ． x2 -1 a2﹣9 m2﹣n2 上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘. 由于(a +b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2 -b2.所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即 (a +b)(a-b)=a2 -b2 两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2－b2 2.(b + a )(－b + a) = a2－b2 (a+b)(a－b)=(a)2－(b)2 相同为a 相反为b 这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等． 适当交换 合理加括号 运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x － 2); (2) (－x+2y)(－x － 2 y). 在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即 (3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22. (a+ b)(a －b) = a2 － b2 例1 分析： (1) (3x+2)(3x － 2) = (3x)2 － 22 = 9x2 － 4； (2) (－x+2y)(－x － 2 y) =(－x ) 2 － (2y ) 2 =x2 － 4y 2. 解： 你还有其他的 计算方法吗？ 符合平方差特点的，紧扣公式特征，找出公式中 的“a”和“b”，用平方差公式直接进行计算，注意 作为“a”项的符号为“－”号时，在计算中要连同它的 符号一起作为底数，例如上题中的（2）题，结果可能 会出现－x2+4y2这样的错解. 合作探究 知识板块二　平方差公式的应用 学习了平方差公式之后，我们可利用平方差公式进行简便运算. 计算： (1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5); (2)102 × 98. (1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5); =y2 － 22 － ( y2+4y － 5) =y2 － 4 － y2 － 4y+5 = － 4y +1; (2) 102 × 98=(100+2) (100 － 2) = 1002 － 22 = 10 000 － 4 =9 996. 例2 解： 运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利用平方差公式可求解． 例3 如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 解：(1)S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b)＝(a＋b)(a－b)； (2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 1 2 当堂演练 C 1.下列运算正确的是(　　) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2 2.计算2 0202－2 019×2 021的结果是(　　) A．1　　　 B．－1　　　 C．2　　　 D．－2 当堂演练 A 当堂演练 3.运用平方差公式计算： (1) (a+3b)(a － 3b); (2) (3+2a)(－ 3+2a); (3) 51 × 49; (4) (3x+4)(3x － 4)－(2x+3)(3x － 2). 当堂演练 (1) a2－9b2； (2) 4a2－9； (3) 2499； (4) 3x2－5x－10. 解： 4．先化简，再求值： (1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x＝1，y＝2； 解：原式＝5x2－5y2.当x＝1