专题11 圆解答题培优训练1（精选最值和定值问题30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题11 圆解答题培优训练1 精选最值和定值问题30道 【类型一 最值问题】 1．如图，在中，点C是上的一点，作交于点D，连接． (1)求证：； (2)连接并延长交于点E，交弦于点F，连接交于点G，连接、，请根据题意画图．已知，． ①若，求的长度； ②若点C从点A沿运动点B时，求线段的长度最小值． 2．如图，是的直径，，是的弦；的度数为，的度数为，动点在线段上，则点在运动过程中： (1)当时，直接写出的长． (2)求出的最小值． (3)当为以为斜边的时，直接写出点到直线的距离． 3．如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接， (1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）． (2)若，为直角三角形时，求的值． (3)点在的内部，直接写出的取值范围． (4)求半径的最小值． 4．如图，为等边的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)设线段的长为x，请你通过计算用含x的代数式表示四边形的面积S； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点D的运动，的周长的最小值也会发生变化，则在周长的所有最小值中的最大值为___________． 5．如图，是的直径，，是的中点，，绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点． (1)求证：； (2)连接、，试探究：在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由； (3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由． 6．已知⊙O的直径AB为10，D为⊙O上一动点（不与A、B重合），连接AD、BD． (1)如图1，若AD=8，求BD的值； (2)如图2，弦DC平分∠ADB，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE． ① 当△BDE为直角三角形时，求BE的值； ② 在点D的运动过程中，BE的值是否存在最小值？若存在，请直接写出BE的最小值；若不存在，请说明理由． 7．（1）问题发现：如图①，Rt中，∠A=90°，AB=AC，求证：BC=AB （2）问题探究：如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为上一动点（不与B，C重合），求证：PA＝PB+PC．请你根据图中所给的辅助线，请你给出具体画法并完成证明过程． （3）类比迁移：如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值． 8．如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在上，且不与点A，C重合），∠ADB＝∠BAC＝60°． (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接MN，若AB＝6，求MN的最小值． 9．综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． (1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； (2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； (3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 10．（1）如图1，AB是⊙○的弦，点在⊙○上，当△PAB是直角三角形时，请在图1中画出点的位置； （2）如图2，⊙○的半径为4，、为⊙○外固定两点（、、三点不在同一直线上），且，为⊙○上的一个动点（点不在直线上），以和为邻边作平行四边形PABC，求最小值； （3）如图3，、是⊙○上的两个点，过点作射线，交⊙○于点，若，，点是平面内的一个动点，且，为的中点，在点的运动过程中，求线段长度的最大值与最小值． 11．如图，是圆的直径， ，是半圆上的一点，是弧的中点． （1）若，求的长和由弦 、和弧CD围成的图形面积； （2）若弧的度数是120度，在半径上是否存在点，使得的值最小，如果存在，请在备用图中面出的位置，并求 的最小值，如果不存在，请说明理由． 12．如图，⊙O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F． （1）求EF的长． （2）若点E为OC的中点， ①求弧CD的度数．