难点冲刺03 二次函数的六个存在性问题-2023-2024学年九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

难点冲刺03二次函数的六个存在性问题 技巧一、固定面积的存在性问题 割补法（铅锤线法)：过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到几何图形的面积，可得最大面积. 技巧二、平行四边形的存在性问题 （1）3定1动：我们把3个定点顺次连接围成三角形,然后过每个定点做对边的平行线,三条直线的交点就是我们要求的三点. （2）2动2定：一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，然后用中点坐标和平行四边形对角线互相平分即可计算 中点坐标公式：已知,则线段的中点坐标为 平行四边形的4个顶点的坐标为, 根据“平行四边形对角线互相平分”可知：对角线的中点与对角线的中点相同,可得 技巧三、等腰三角形的存在性问题 如果为等腰三角形,一般来说分三种情况讨论：（1）;（2）;（3）.因此,在解决等腰三角形存在性问题时,通常需要进行分类讨论,这类问题通常有两种方法：几何法与代数法. （1）几何法： ①两定一动点：可采用“两圆一中垂”的方法快速找出点，再根据几何的相关知识求解; ②一定两动点：把三种情况对应的图全部都画出来,再根据几何的相关知识求解; 注：常见的几何相关知识有：全等三角形,相似三角形,锐角三角形函数,勾股定理,特殊角,三线合一等. （2）代数法： 两点坐标距离公式：已知, 步骤如下：①先用坐标表示；②再利用两点距离公式表示出； ③分三类讨论：1.，2.，3.; ④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结 技巧四、直角三角形的存在性问题 如果为直角三角形，一般来说分三种情况讨论：(1);(2);(3)。因此，在解决等腰三角形存在性问题时，通常需要进行分类讨论，常见由两种方法处理： （1）代数法： 步骤如下：①先用坐标表示三个点；②再利用两点距离公式表示出; ③分三类讨论：1.；2.; 3.; ④检验和总结：舍去重合等不满足题意的点，并总结 （2）解析法： 已知直线和直线，若,则直线。 题型一 固定面积的存在性问题 【例1】如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接.    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若将抛物线向下平移个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由. 【例2】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为． 已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的解析式．   (1)请根据已有信息添加一个适当的条件： ； (2)当函数值时，自变量的取值范围： ； (3)如图1，将函数的图象向右平移个单位长度，与 的图象组成一个新的函数图象，记为．若点在上，求的值； (4)如图2，在（3）的条件下，点的坐标为，在上是否存在点，使得若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图是二次函数的图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边） (1)写出抛物线的解析式、开口方向、对称轴； (2)求出图象与x轴的交点A、B的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出直线的解析式为___________； (3)若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值； (4)在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由． 题型二 平行四边形的存在性问题 【例3】如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C． (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B．将抛物线绕点B逆时针方向旋转90°，点，为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．    (1)若原抛物线过点，