25.1 锐角的三角比的意义（讲+练，4题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪教版）

25.1 锐角的三角比的意义 1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数， 2. 掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数. 3.会用计算器由已知锐角求它的锐角三角函数值或根据已知的锐角三角函数值求锐角,体会锐角和锐角三角函数值之间的一一对应关系 4.了解会有特殊角的非直角三角形转化为直角三角形的方法,理解转化思想在解决非直角三角形问题中的应用 知识点一 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 即学即练 在中，，，，求的三个三角函数值． 知识点二 锐角三角比中的相互 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 即学即练1 （2022秋·上海崇明·九年级校考期中）如图，在中，，，垂足为D，，． (1)求的长； (2)求的余切值． 即学即练2 （2022秋·上海长宁·九年级校考期中）如图，在中，是边上的中线，，，． (1)求的周长； (2)求的余切值． 注意： 三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数： (1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)6,8,10;(4)7,24,25;(5)8,15,17;(6)9,40,41. 题型一 正弦的概念辨析 例1（2022秋·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 举一反三1（2021秋·上海金山·九年级期末）在中，，那么锐角的正弦等于（      ） A． B． C． D．． 举一反三2（2018秋·上海杨浦·九年级校联考期中）在中，，于点D，下列式子表示B错误的是　　 A． B． C． D． 题型二 余弦的概念辨析 例2（2018秋·上海宝山·九年级校考期中）如果中，那么 （填的三角比） 举一反三1（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 举一反三2（2023·上海·九年级假期作业）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型三 正切的概念辨析 例3（2022秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 举一反三1（2021春·上海浦东新·七年级校考期末）在中，，，D、E分别在BC、AC上，若，，那么 度． 举一反三2（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 余切的概念辨析 例4（2023·上海·九年级假期作业）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 举一反三1（2021·上海·九年级专题练习）在Rt△ABC中，如果，那么表示的(        ) A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切 举一反三2（2021春·九年级课时练习）直线交轴于点A，交轴于点B，求∠ABO的余切、正弦． 1、 单选题 1.（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（  ） A．6 B． C．10 D．12 3．（2019·山东聊城·统考三模）如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为（，1），则tanβ等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 1.（2019秋·江苏盐城·九年级校联考期末）已知是锐角，且，则