期中复习08 抛物线-2023-2024学年高二数学上学期期末专项复习（人教A版2019选择性必修第一册）

期中复习专题08：抛物线原卷版 考点一：抛物线的定义 【知识点梳理】 抛物线的定义 平面内一个动点与一个定点距离和到一条定直线距离相等，这样的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注：定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点；一个定点(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点到点的距离与它到定直线的距离之比等于1)． 【典例例题】 例1.（2022秋·江苏淮安第一中学期中）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练】 1.（2022秋·北京·高二校考期中）若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023秋·全国·高二期中）若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．（2023春·山东青岛·高二校联考期中）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）抛物线的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D．2 5.（2023秋·全国·高二期中）直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为. (1)求抛物线方程； (2)设抛物线与轴交于点，求的面积. 考点二：抛物线方程 【知识点梳理】 抛物线的方程及简单几何性质 类型 图象 性质 焦点 准线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 开口方向 向右 向左 向上 向下 【典例例题】 例1.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔第八中学校期中）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（   ） A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x 【变式训练】 1.（2023春·四川眉山·高二校考期中）抛物线的准线方程是，则实数的值（    ） A． B． C．8 D． 2.（2023春·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（    ）      A． B． C． D． 3．（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 4．（2023春·福建福州·高二校考期中）（多选）已知为抛物线上一动点，则（    ） A．准线为l： B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C．点P到直线距离的最小值等于 D．的最小值为6 5．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B．线段的中点在一条定直线上 C．为定值（、分别为直线、的斜率） D．为定值（为抛物线的焦点） 考点三：直线与抛物线的位置关系 【知识点梳理】 1、直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 2、弦长问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1