3.1.1 椭圆的标准方程-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.1椭圆的标准方程 【考点梳理】 考点一：椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 考点二：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 考点三：求轨迹方程的方法 直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；        （2）写出适合条件的点M的集合；        （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 【题型归纳】 题型一：利用椭圆的定义求方程 1．（2023秋·上海浦东新·高二校考）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的焦点三角形问题 4．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 6．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（    ） A． B． C． D． 题型三：根据方程表示椭圆求参数问题 7．（2023·江苏·高二专题练习）已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 9．（2022·江苏·高二专题练习）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的标准方程的求法 10．（2022秋·江苏南通·高二校考阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·江苏·高二专题练习）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：与椭圆有关的轨迹问题 13．（2023·江苏·高二专题练习）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：椭圆的最值问题 16．（2023·江苏·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 17．（2023·江苏·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 18．（2023·江苏·高二专题练习）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 题型七：椭圆方程的综合问题 19．（2023·江苏·高二专题练习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8； (2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点． 20．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的焦点在