3.3.2 抛物线的简单几何性质-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.2：抛物线的几何性质 【考点梳理】 考点一：抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 考点二：直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 考点三：直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【题型归纳】 题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点、范围） 1．（2021·江苏·高二专题）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 2．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2021·江苏·高二专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A． B． C． D． 题型二：抛物线的对称性 4．（2023·高二课时练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 5．（2023秋·高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（  ） A． B． C． D． 6．（2020秋·江苏南通·高二如皋市第一中学校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：抛物线的弦长问题 7．（2022·江苏·高二专题练习）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ） A．2 B． C． D．4 8．（2023·高二课时练习）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 9．（2022·江苏·高二专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（    ） A．32 B．16 C．24 D．8 题型四：抛物线的焦点弦性质问题 10．（2023·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．2 11．（2022·江苏·高二专题练习）已知点为拋物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．32 B．48 C．64 D．72 12．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 题型五：抛物线中的参数范围 13．（2023·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2022·江苏·高二假期作业）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 15．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，