3.3.1 抛物线的标准方程-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.1抛物线的标准方程 【考点梳理】 考点一：抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 考点二：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离． 【题型归纳】 题型一：抛物线的定义求轨迹方程 1．（2022·全国·高二）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：抛物线的最值问题 4．（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离与到点的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2022秋·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为 A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2022春·江苏扬州·高二统考开学考试）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为椭圆的右焦点，为抛物线上的动点，，则的最小值为(    ) A．4 B．5 C．6 D．2 17 题型三：抛物线焦半径的公式 7．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，直线不过点且与交于，两点（点在轴上方），与轴负半轴交于点，若，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（    ）． A． B． C． D． 题型四：抛物线的四种标准方程 10．（2022秋·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（2022秋·江苏南京·高二校联考期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）已知抛物线y2= 2px（p > 0）的焦点为F，准线为l， M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p=（　　） A． B． C．1 D．2 题型五：抛物线在生活中的实际应用 13．（2022·江苏·高二专题练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（    ） A． B． C． D． 14．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 . 15．（2022·江苏·高二专题练习）一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度 米． 题型六：抛物线的方程综合问题 16．（2023·江苏·高二）求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程： (1)抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在轴的正半轴上； (2)抛物线的焦点是. 17．（2023秋·高二课时练习）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 18．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点. (1)若直线的斜率为，求线段的长； (2)求证：直线平行于抛物线的对称轴. 【双基达标】 一、单选题 19．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2