3.2.2 双曲线的几何性质-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的几何性质 【考点梳理】 考点一：双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 考点二：等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 考点三:直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 考点四：弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. 重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距） 1．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知双曲线，则当实数变化时，这些双曲线有（    ） A．相同的焦点 B．相同的实轴长 C．相同的离心率 D．相同的渐近线 2．（2023·高二课时练习）双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 3．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）关于双曲线（，），有下列四个结论： ①虚轴长为4：                ②离心率为2；③焦距为8；            ④渐近线方程为． 若其中有且只有一个错误结论，则该错误结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴） 4．（2021秋·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）设双曲线的实轴长为8，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 6．（2022秋·江苏南通·高二阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 题型三：等轴双曲线 7．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）已知等轴双曲线C的中心为O，焦点为、，若双曲线C上一点P满足：，，则＝ . 8．（2021秋·江苏南京·高二南京市第十三中学校考阶段练习）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为 ． 9．（2022·江苏·高二专题练习）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C 的虚轴长为 题型四：双曲线的渐近线问题 10．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是(   ) A． B． C． D． 12．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型五：双曲线的的离心率问题 13．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 14．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知圆O：与双曲线C：的右