3.1.2 椭圆几何性质-2023-2024学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.2椭圆几何性质 【考点梳理】 考点一：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 考点二：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 重难点技巧：弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【题型归纳】 题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴 1．（2023秋·高二）椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 2．（2022秋·江苏南京·高二校考期末）曲线与曲线有共同的（    ） A．长轴长 B．短轴长 C．离心率 D．焦距 3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）设P为椭圆上的点，分别是椭圆C的左，右焦点，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：椭圆的椭圆的范围问题 4．（2022秋·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·高二课时练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（    ） A．（0，） B．（0，2） C．（l，2） D．（，2） 6．（2023·高二课时练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的离心率问题 7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023春·江苏盐城·高二校考期中）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的中点弦问题 10．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 12．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B陃点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：直线与椭圆的弦长问题 13．（2022秋·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 14．（2023秋·江苏南通·高二校考阶段练习）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 15．（2023·江苏·高二专题练习）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为、，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型六：椭圆中的向量问题 16．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ） A． B． C． D． 17．（