难点冲刺03 函数的奇偶性，对称性和周期性-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

难点冲刺03函数的奇偶性，对称性和周期性 技巧一、函数的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 技巧二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 题型一 周期的简单应用 【例1】已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．1 C． D．3 【例2】已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．2 D．98 【变式1-1】（多选）若定义在上的函数分别满足下列条件，其中可以得出的周期为2的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知定义在R上的函数满足，且的图象关于直线对称.若时，，则 . 【变式1-3】设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，，则 ． 题型二 求对称轴 【例3】已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4】若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数的定义域为，满足，且在上单调递增，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 题型三 求对称中心 【例5】已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【例6】已知的图像关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（    ） A．-2 B．2 C．0 D．-8 【变式3-1】设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（    ） A．关于点中心对称 B．关于点中心对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【变式3-2】（多选）已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（    ） A．的图像关于对称 B．必成立 C．必成立 D．的图像关于原点对称 【变式3-3】已知函数满足:对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四 比较大小 【例7】已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知定义在上的函数满足下列三个条件： ①对任意的，都有； ②的图象关于轴对称； ③对任意的，都有 则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图像关于对称 D． 【变式4-2】对，函数满足，.当时.设，，，则，，的大小关系为 . 【变式4-3】已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 求函数值的和 【例9】函数满足对任意都有成立，函数的图象关于点对称，且，则（    ） A．-4 B．0 C．4 D．8 【例10】（多选）已知定义在上的函数的图象关于点对称且满足，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．是周期为4的函数 C． D． 【变式5-1】已知定义在上的函数的满足：，，若函数图象与函数图象的交点为，则 ． 【变式5-2】已知函数的定义域为，且，则 ． 【变式5-3】已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则 . 题型六 解不等式 【例11】已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知函数满足，且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知函数的定义域为R，为偶函数，且对，满足，若，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知函数的定义域为，满足，且对任意，均有，则不等式的解集为 . 【变式6-3】已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 ． 1．（2022秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）（多选）下列叙述中正确的是（    ） A．若函数满足，则曲线关于对称 B．若函数满足，则曲线关于对称 C．曲线与关于对称 D．曲线与关于对称 2．（2022秋·