3.1.2函数的单调性（第一课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.1.2函数的单调性（1） 我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究.他经过测试，得到了有趣的数据. 数据表明，记忆量是时间间隔的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的 “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图： 1 2 3 y o 20 40 60 80 记忆保持量(百分数) 时间间隔/h “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？这节课我们一起学习一下吧. 1.理解单调函数的定义；（重点） 2.掌握用定义法判断函数单调性的步骤；（难点） 3.理解函数的最大（小）值及其几何意义.(重点） 探究点1 函数单调性的定义 x y o x y o x y o 上升 思考1：观察下列函数图象，从左向右图象的变化趋势是怎样的？ 下降 先下降后上升 思考2：你能用图象 上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？ 随着的 增大而增大 随着的 增大而减小 时，随着的增大而减小； 时，随着的增大而增大 思考3：你能用符号表示“随的增大而增大”“随的增大而减小”吗？ O x D y x1 x2 f(x1) f(x2) M N 图象在区间逐渐上升 区间内随着的增大，也增大 对区间内 x1，x2 ， 当x1<x2时， f(x1)<f(x2) 任意 都有 根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义. 增函数 一般地，设函数的定义域为，且： 如果对任意,，当时，都有， 则称在上是增函数（也称在上单调递增），称为的单调增区间. 增函数 你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？ 减函数 一般地，设函数的定义域为，且： 如果对任意,，当时，都有， 则称在上是减函数（也称在上单调递减），称为的单调减区间. 注意： （1）如果函数 y =f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性； （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质. 判断1：函数 在 是单调增函数； (×) 判断2：定义在上的函数满足 ，则函数 在R上是增函数； (×) 判断3：函数在定义域上单调递减. (×) 在和上单调递减 即时训练: 如下图所示的函数，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是 函数，在[1，3]上是 函数，在[3，6]上是 函数.单调增区间是 ，单调减区间是 . . 增 减 增 和和 和 在多个区间上单调性相同，一般用“和”“，”连接 例1 求证：函数在上是减函数. 【解析】 证明：任取且, 则,那么 从而 因此，函数在上是减函数. 取值 作差变形 定号 判断 【总结提升】 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤: ①取值：即设、是该区间内的任意两个值,且; ②作差变形：即作差(或) 并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; ③定号：确定差(或)的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论; ④判断：根据定义得出结论. 此为证明的关键点、易错点 跟踪训练： 依据函数单调性的定义，证明函数,是递增的. 【解析】任取,,且, 则, 那么 + 因为,所以,所以 从而 因此，函数,是递增的. 探究点2 函数的最值 1.观察下列两个函数的图象： 思考：图1中最高点A的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量,与M的大小关系如何?图2中最高点B的纵坐标为M0,则对函数 定义域内任意自变量,与M0的大小关系如何? y x o 图2 M0 B M是函数的最大值！ 函数最大值定义：一般地，设函数的定义域为，且: 如果对任意，都有,则称的最大值为，而称为的最大值点. 可以这样理解：函数的最大值是所有函数值中最大的一个，并且是能够取到的. 2.观察下列两个函数的图象： 思考：图1中最低点A的纵坐标为m,则对函数定义域内任意自变量,与m的大小关系如何?图2中最低点B的纵坐标为m0,则对函数 定义域内任意自变量,与m0的大小关系如何? x y o 图2 m0 B 图1 y o x0 x m A 是函数的最小值！ 仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？ 函数最小值定义：一般地，设函数的定义域为，且: