3.1.1 椭圆的标准方程（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆的标准方程 一、椭圆的定义 1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 二、椭圆标准方程的推导： 1、怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. 2、椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 3、遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 三、椭圆的标准方程对比 四、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识， 建立，，之间的关系， 采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 五、求椭圆的标准方程 1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）定位：确定焦点在那个坐标轴上； （2）定量：依据条件及确定的值； （3）写出标准方程； 2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； 3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。 题型一 椭圆的定义及应用 【例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，动点C满足，则点C的轨迹是（ ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（ ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 【变式1-2】（2023秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-3】（2023秋·高二课时练习）如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（ ） A．16 B．18 C．20 D．22 题型二 求椭圆的标准方程 【例2】（2023秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋·江西抚州·高二校联考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）经过点和点； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为. 【变式2-3】（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程： （1）一个焦点为 （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 题型三 根据椭圆标准方程求参数 【例3】（2024·全国·高三专题练习）（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高二专题练习）“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2024·全国·高三专题练习）已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【变式3-3】（2023秋·江苏淮安·高二开学考试）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 题型四 椭圆的焦点三角形问题 【例4】（2023秋·全国·高二期中）设分别为椭圆的左右焦