专题09圆的方程（2个知识点4种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题09圆的方程（2个知识点4种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.圆的定义 知识点2.圆的方程 【方法二】 实例探索法 题型1.圆的标准方程及其求法 题型2.点与圆的位置关系 题型3.圆的一般方程及其求法 题型4.与圆有关的动点的轨迹方程 【方法三】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.圆的定义 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 知识点2.圆的方程 1．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题思路点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（﹣，﹣），半径r＝． 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【方法二】实例探索法 题型1.圆的标准方程及其求法 【例1】．（2022秋•阿拉善左旗校级期末）已知圆心为（﹣2，3）的圆与直线x﹣y+1＝0相切，则该圆的标准方程是（　　） A．（x+2）2+（y﹣3）2＝8 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝8 C．（x+2）2+（y﹣3）2＝18 D．（x﹣2）2+（y+3）2＝18 【变式】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为______． 题型2.点与圆的位置关系 【例2】（2022秋•长宁区校级期末）已知点（1，1）在圆x2+y2+ax+a＝0外，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，0） C．（﹣1，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞） 【变式】（2022秋•越秀区期末）已知圆C：x2+y2﹣2mx+2m+3＝0的一条切线过点P（2，1），则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，4） C．（3，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，4] 题型3.圆的一般方程及其求法 【例3】（2022秋•阜南县期末）已知三角形ABC的顶点坐标分别为：A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求其外接圆的方程． 【变式】（2023春·安徽·高二校联考开学考试）已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程． 题型4.与圆有关的动点的轨迹方程 【例4】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知定点，P是圆上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是_______________. 【变式】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【方法三】成功评定法 一、单选题 1．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2023秋·高二课时练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考期中）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高二专题练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 5．（2023秋·浙江舟山·高二舟山中学校考阶段练习）若 ，则方程表示的圆的个数为（